Интерполяция функций с нулевыми шаровыми средними с ограничением роста

Интерполяция функций с нулевыми шаровыми средними с ограничением роста

Волчков В. В., Волчков Вит. В.
Сибирский математический журнал, 65, 5, 841-851 (2024)
Скачать статью

УДК 517.5 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.506

Аннотация:

Пусть $V_r(\mathbb {R}^n)$ $(n \ge 2, r > 0)$ — множество локально суммируемых функций $f : \mathbb {R}^n \to \mathbb {C}$, имеющих нулевые интегралы по всем шарам радиуса $r$ в $\mathbb {R}^n$. В работе изучается интерполяционная задача $f(a_k) = b_k, k = 1, 2, \dots$ , для функций класса $(V_r \cap C^\infty)(\mathbb {R}^n)$ с ограничениями роста на бесконечности. Рассматривается случай, когда {$a_k$} $_{k=1}^\infty$ — множество точек, лежащих на некоторой прямой $l$ в $\mathbb {R}^n$, в некотором смысле близкое к конечному объединению арифметических прогрессий, а {$b_k$} $_{k=1}^\infty$ — последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |b_k|^2 < + \infty$.

Показано, что указанная интерполяционная задача разрешима в классе функций, принадлежащих $(V_r \cap C^\infty)(\mathbb {R}^n)$, которые вместе со всеми своими производными удовлетворяют специальному условию убывания на бесконечности. Это условие представляет собой верхнюю оценку, которая влечет степенное убывание в направлениях, ортогональных к $l$, а также не может быть существенно улучшена вдоль прямой $l$.

Литература:
  1. Pompeiu D. Sur une propriété intégrale de fonctions de deux variables réeles // Bull. Sci. Acad. Royale Belgique. Sér. 5. 1929. V. 15. P. 265–269.
     
  2. Chakalov L. Sur un probléme de D. Pompeiu // Annuaire [Godisnik] Univ. Sofia Fac. Phys.- Math., Livre 1. 1944. V. 40. P. 1–14.
     
  3. Беренстейн К. А., Струппа Д. К. Комплексный анализ и уравнения в свертках // Итоги науки и техн. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 54. С. 5–111. 
     
  4. Bagchi S. C., Sitaram A. The Pompeiu problem revisited // L’Enseignement Math. 1990. V. 36, N 1–2. P. 67–91. 
     
  5. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation by solutions of partial differential equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1992. P. 185–194.
     
  6. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003.
     
  7. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group. London: Springer-Verl. London Limited, 2009.
     
  8. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces. Basel: Birkhäuser, 2013.
     
  9. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Interpolation problems for functions with zero ball means // Issues Anal. 2021. V. 10, N 3. P. 129–140.
     
  10. Волчков В. В., Волчков Вит. В. Аппроксимация функций на лучах в $\mathbb {R}^n$ решениями уравнений свертки // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 1. С. 56–64.
     
  11. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.

Исследование проводилось в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (тема № 1023020800027-5-1.1.1 и тема № 124012400352-6).

Волчков Валерий Владимирович
  1. Донецкий государственный университет, 
    ул. Университетская 24, Донецк 283001

E-mail: valeriyvolchkov@gmail.com

Волчков Виталий Владимирович
  1. Донецкий государственный университет, 
    ул. Университетская 24, Донецк 283001

E-mail: volna936@gmail.com

Статья поступила 25 марта 2024 г.
После доработки — 25 марта 2024 г.
Принята к публикации 20 августа 2024 г.