Пример липшицева графика отображений групп Энгеля и формула площади

Пример липшицева графика отображений групп Энгеля и формула площади

Карманова М. Б.
Сибирский математический журнал, 67, 5, 903-917 (2026)
Скачать статью

УДК 517.518 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.511

Аннотация:

Для липшицевых отображений-графиков, определенных на группе Энгеля, установлен явный вид субриманова дифференциала и выведен явный вид формулы площади. Приведен пример нетривиального отображения групп Энгеля, график которого является липшицевым во внутреннем смысле отображением трехступенчатых групп Карно.

Литература:
  1. Карманова М. Б. Графики отображений групп Энгеля и критерий их внутренней липшицевости // Сиб. мат. журн. 2026. Т. 67, № 4. С. 650–673.
     
  2. Ардентов А. А., Сачков Ю. Л. Экстремальные траектории в нильпотентной субримановой задаче на группе Энгеля // Мат. сб. 2011. Т. 202, № 11. С. 31–54.
     
  3. Миклюков В. М., Клячин А. А., Клячин В. А. Максимальные поверхности в пространстве-времени Минковского. Волгоград: ВолГУ, 2011.
     
  4. Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М.: Наука, 1987.
     
  5. Тужилин А. А., Фоменко А. Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. М.: Наука, 1991.
     
  6. Fomenko A. T. (ed.) Minimal surfaces. Providence, RI: Am. Math. Soc., 1993 (Adv. Soviet Mathematics; V. 15).
     
  7. Capogna L., Citti G., Manfredini M. Regularity of non-characteristic minimal graphs in the Heisenberg group $\mathbb {H}^1$ // Indiana Univ. Math. J. 2009. V. 58, N 5. P. 2115–2160.
     
  8. Capogna L., Citti G., Manfredini M. Smoothness of Lipschitz intrinsic minimal graphs in Heisenberg groups $\mathbb {H}^n, n > 1$ // J. Reine Angew. Mathematik. 2010. V. 2010, N 648. P. 75–110.
     
  9. Danielli D., Garofalo N., Nhieu D. M. A notable family of entire intrinsic minimal graphs in the Heisenberg group which are not perimeter minimizing // Am. J. Math. 2008. V. 130, N 2. P. 317–339.
     
  10. Danielli D., Garofalo N., Nhieu D. M., Pauls S. D. Instability of graphical strips and a positive answer to the Bernstein problem in the Heisenberg group $\mathbb {H}^1$ // J. Differ. Geom. 2009. V. 81. P. 251–295.
     
  11. Garofalo N., Pauls S. D. The Bernstein problem in the Heisenberg group. 2005. arXiv:math/ 0209065v2.
     
  12. Barbieri D., Citti G. Regularity of minimal intrinsic graphs in 3-dimensional sub-Riemannian structures of step 2 // J. Math. Pures Appl. 2011. V. 96, N 3. P. 279–306.
     
  13. Julia A., Nicolussi Golo S., Vittone D. Area of intrinsic graphs and coarea formula in Carnot groups // Math. Z. 2022. V. 301. P. 1369–1406.
     
  14. Corni F., Magnani V. Area of intrinsic graphs in homogeneous groups. [Электронный ресурс] arXiv:2311.06638v2 [math.MG]. 2026.
     
  15. Citti G., Sarti A. A cortical based model of perceptual completion in the rototranslation space // Lecture Notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica. 2006. V. 3. P. 145–161.
     
  16. Hladky R. K., Pauls S. D. Minimal surfaces in the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model // J. Math. Imaging Vis. 2010. V. 36, N 1. P. 1–27.
     
  17. Petitot J. Neurogéométrie de la vision. Modèles mathématiques et physiques des architectures fonctionelles. Paris: Les Éditions de l’École Polytechnique, 2008.
     
  18. Folland G. B., Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton: Princeton Univ. Press, 1982.
     
  19. Карманова М. Б. Графики липшицевых функций и минимальные поверхности на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 4. С. 839–861.
     
  20. Pansu P. Métriques de Carnot–Carathéodory et quasi-isométries des espaces symétriques de rang 1 // Ann. Math. (2). 1989. V. 129, N 1. P. 1–60.
     
  21. Vodopyanov S. Geometry of Carnot–Carathéodory spaces and differentiability of mappings // The Interaction of Analysis and Geometry. Contemporary Mathematics. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2007. V. 424. P. 247–301.
     
  22. Карманова М. Б. Площадь образов классов измеримых множеств на группах Карно с сублоренцевой структурой // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 5. С. 926–952.
     
  23. Карманова М. Б. Формула площади для липшицевых отображений пространств Карно — Каратеодори // Изв. РАН. Сер. мат. 2014. Т. 78, № 3. С. 53–78.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект № FWNF2026-0022).

Карманова Мария Борисовна (ORCID 0000-0002-8562-1513)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: maryka@math.nsc.ru, maryka84@gmail.com 

Статья поступила 31 июля 2026 г.
После доработки — 11 августа 2026 г.
Принята к публикации 11 августа 2026 г.