Представление решений одного класса уравнений свертки на группе Hn red

Представление решений одного класса уравнений свертки на группе $H_{red}^n$

Волчков Вит. В., Волчкова Н. П.
Сибирский математический журнал, 67, 5, 857-878 (2026)
Скачать статью

УДК 517.444 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.508

Аннотация:

Исследуется задача о структуре решений одного класса уравнений свертки на редуцированной группе Гейзенберга, а также ее локальные аналоги. Рассматривается случай, когда свертыватель в уравнении имеет компактный носитель и инвариантен относительно унитарной группы. Для широкого класса таких свертывателей получено разложение произвольного распределения, удовлетворяющего соответствующему уравнению свертки, в ряд по его элементарным решениям.

Литература:
  1. Berenstein C. A., Taylor B. A. A new look at interpolation theory for entire functions of one variable // Adv. Math. 1979. V. 33. P. 109–143.
     
  2. Berenstein C. A., Taylor B. A. Mean-periodic functions // Int. J. Math. Math. Sci. 1980. V. 3, N 2. P. 199–235.
     
  3. Леонтьев А. Ф. Дифференциально-разностные уравнения // Мат. сб. 1949. Т. 24, № 2. С. 347–374.
     
  4. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, № 5. С. 99–141.
     
  5. Delsarte J. Les fonctions ’moyenne-périodiques’ // J. Math. Pures Appl. 1935. V. 14, N 1–4. P. 403–453.
     
  6. Schwartz L. Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques // Ann. Math. 1947. V. 48. P. 857–929.
     
  7. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division. IV // Am. J. Math. 1960. V. 82. P. 522–588.
     
  8. Ehrenpreis L., Malliavin P. Invertible operators and interpolation in AU-spaces // J. Math. Pures Appl. 1974. V. 53. P. 165–182.
     
  9. Леонтьев А. Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1965. Т. 29, № 2. С. 269–328.
     
  10. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.
     
  11. Леонтьев А. Ф. Представление функций рядами экспонент. Уфа: Диалог, 2017.
     
  12. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003.
     
  13. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group. London: Springer-Verl. London Limited, 2009.
     
  14. Беренстейн К. А., Струппа Д. К. Комплексный анализ и уравнения в свертках // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 54. С. 5–111.
     
  15. Паламодов В. П. Обобщенные функции и гармонический анализ // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 72. С. 5–134. 
     
  16. Ehrenpreis L., Mautner F. I. Some properties of the Fourier transform on semi-simple Lie groups. II // Trans. Am. Math. Soc. 1957. V. 84. P. 1–55.
     
  17. Bagchi S. Ch., Sitaram A. Spherical mean periodic functions on semisimple Lie groups // Pacific J. Math. 1979. V. 84, N 2. P. 241–250.
     
  18. Weit Y. On Schwartz’s theorem for the motion group // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1980. V. 30, N 1. P. 91–107.
     
  19. Кучмент П. А. Сферическое представление решений инвариантных дифференциальных уравнений на римановом симметрическом пространстве некомпактного типа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1985. Т. 49, № 6. С. 1260–1273.
     
  20. Berenstein C. A., Gay R. A local version of the two-circles theorem // Israel J. Math. 1986. V. 55. P. 267–288.
     
  21. Berenstein C. A. Spectral synthesis on symmetric spaces // Contemp. Math. 1987. V. 63. P. 1–25.
     
  22. Scott D., Sitaram A. Some remarks on the Pompeiu problem for groups // Proc. Am. Math. Soc. 1988. V. 104, N 4. P. 1261–1266.
     
  23. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. I, II. М.: Наука, 1973.
     
  24. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из $\mathbb{C}^n$. М.: Мир, 1984.
     
  25. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991.
     
  26. Thangavelu S. Lectures on Hermite and Laguerre expansions. Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.
     
  27. Smith R. T. The spherical representations of groups transitive on $\mathbb{S}^n$ // Indiana Univ. Math. J. 1975. V. 24, N 4. P. 307–325.
     
  28. Волчков Вит. В. О функциях с нулевыми шаровыми средними на комплексных гиперболических пространствах // Мат. заметки. 2000. Т. 68, № 4. С. 504–512.
     
  29. El Harchaoui M. Inversion de la transformation de Pompéiu locale dans les espaces hyperboliques réel et complexe (Cas de deux boules) // J. Anal. Math. 1995. V. 67. P. 1–37.
     
  30. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987.
     
  31. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М.: Наука, 1975.
     
  32. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. М.: Мир, 1986.

Исследование Вит. В. Волчкова проводилось в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (тема № FREM-2026-0004 и тема № FRRE-2026-0015). Исследование Н. П. Волчковой проводилось в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (тема № FRRE-2026-0015).

Волчков Виталий Владимирович (ORCID 0000-0003-4274-0034)
  1. Донецкий государственный университет, 
    ул. Университетская, 24, Донецк 283001
  2. Институт прикладной математики и механики, 
    ул. Розы Люксембург, 74, Донецк 283048

E-mail:

Волчкова Наталья Петровна (ORCID 0000-0001-6193-2782)
  1. Донецкий государственный университет, 
    ул. Университетская, 24, Донецк 283001
  2. Донецкий национальный технический университет, 
    ул. Артема, 58, Донецк 283000

E-mail: volna936@gmail.com 

Статья поступила 18 января 2026 г.
После доработки — 7 июня 2026 г.
Принята к публикации 8 июня 2026 г.