Задача Неймана для квазилинейных уравнений с критическим ростом правой части в липшицевых областях на многообразии

Задача Неймана для квазилинейных уравнений с критическим ростом правой части в липшицевых областях на многообразии

Быстров Д. В.
Сибирский математический журнал, 67, 5, 841-856 (2026)
Скачать статью

УДК 517.9 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.507

Аннотация:

Рассматривается задача Неймана в области на многообразии для уравнения с оператором $p$-Лапласа в главной части и с критическим ростом правой части. Даны точные достаточные условия существования решения с наименьшей энергией при требовании от области только локальной выпуклости, а также доказана теорема существования на сфере. Ранее подобные результаты были известны для областей с гладкой или пустой границей.

Литература:
  1. Быстров Д. В., Назаров А. И. Задача Робена для квазилинейных уравнений с критическим ростом правой части // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2024. Т. 536. С. 126–139.
     
  2. Bliss G. A. An integral inequality // J. London Math. Soc. 1930. V. 5. P. 40–46.
     
  3. Назаров А. И., Щеглова А. П. О некоторых свойствах экстремали в вариационной задаче, порожденной теоремой вложения Соболева // Проблемы математического анализа. Нелинейные задачи и теория функций. 2004. Т. 27. С. 109–136.
     
  4. Adimurthi, Mancini G. The Neumann problem for elliptic equations with critical nonlinearity // Nonlinear Analysis. A Tribute in Honour of G. Prodi. Sci. Norm. Super. di Pisa Quaderni. 1991. P. 9–25.
     
  5. Wang X. J. Neumann problems of semilinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // J. Differ. Equ. 1991. V. 93, N 2. P. 283–310.
     
  6. Демьянов А. В., Назаров А. И. О существовании экстремальной функции в теоремах вложения Соболева с предельным показателем // Алгебра и анализ. 2005. Т. 17, № 5. С. 105–140.
     
  7. Druet O. Optimal Sobolev inequalities of arbitrary order on compact Riemannian manifolds // J. Funct. Anal. 1998. V. 159. P. 217–242.
     
  8. Ritor M., Vernadakis E. Isoperimetric inequalities in Euclidean convex bodies // Trans. Am. Math. Soc. 2015. V. 367, N 7. P. 4983–5014.
     
  9. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб: Наука, 1994.
     
  10. Pacella F., Tricarico M. Symmetrization for a class of elliptic equations with mixed boundary conditions // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. 1985–86. V. 34. P. 75–94.
     
  11. Fleming W. H., Rishel R. An integral formula for total gradient variation // Arch. Math. 1960. V. 11. P. 218–222. 
     
  12. Lions P.-L., Pacella F., Tricarico M. Best constants in Sobolev inequalities for functions vanishing on some part of the boundary and related questions // Indiana Univ. Math. J. 1988. V. 37, N 2. P. 301–324.
     
  13. Lions P.-L., Pacella F. Isoperimetric inequalities for convex cones // Proc. Am. Math. Soc. 1990. V. 109, N 2. P. 477–485.
     
  14. Lions P.-L. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The limit case. Part 1, 2 // Rev. Mat. Iberoam. 1985. V. 1, N 1, 2. P. 145–201, 45–121.
     
  15. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. Л.: Наука, 1980.
     
  16. Kawohl B. Rearrangements and convexity of level sets in PDE. Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer, 1985.
     
  17. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.
     
  18. Trudinger N. S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1967. V. 20. P. 721–747.
     
  19. Aubin T. Problémes isopérimétriques et espaces de Sobolev // J. Differ. Geom. 1976. V. 11. P. 573–598.
     
  20. Hebey E., Vaugon M. Meilleures constantes dans le théoréme d′inclusion de Sobolev // Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire. 1996. V. 13, N 1. P. 57–93.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № 075-15-2025-344 от 29.04.2025 в Санкт-Петербургском международном математическом институте имени Леонарда Эйлера, ПОМИ РАН) и Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС».

Быстров Данил Владимирович (ORCID 0009-0003-8326-4633)
  1. Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет, 
    Университетская набережная, 7–9, Санкт-Петербург 199034, 
    Университетский проспект, 28, Санкт-Петербург, Старый Петергоф 198504
  2. Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 
    Набережная реки Фонтанки, 27, Санкт-Петербург, 191011

E-mail: danil.bystrovv@gmail.com 

Статья поступила 10 января 2026 г.
После доработки — 21 июня 2026 г.
Принята к публикации 22 июня 2026 г.