Обратная задача для уравнения Вестервельта

Обратная задача для уравнения Вестервельта

Романов В. Г.
Сибирский математический журнал, 67, 4, 703-711 (2026)
Скачать статью

УДК 517.955 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.411

Аннотация:

Рассматривается нелинейное уравнение Вестервельта. В этом уравнении опускается член, описывающий диффузию звука. Тогда уравнение Вестервельта становится квазилинейным гиперболическим уравнением. Далее это уравнение линеаризуется и для него ставится и изучается обратная задача об определении коэффициента при нелинейности, зависящего от пространственных переменных. Выписывается структура решения задачи Коши в окрестности фронта волны. На этой основе обратная задача сводится к задаче интегральной геометрии на семействе прямых линий с заданной весовой функцией. Весовая функция, так же как и семейство прямых, инвариантна относительно всевозможных вращений вокруг фиксированной точки. Это свойство позволяет установить теорему единственности решения обратной задачи и предложить удобный и эффективный метод построения ее решения.

Литература:
  1. Westervelt P. J. Parametric acoustic array // J. Acoustical Soc. Am. 1963. V. 35. P. 535–537.
     
  2. Заболотская Е. А., Хохлов Р. В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков // Акуст. журн. 1969. Т. 15, № 1. С. 40–47.
     
  3. Crighton D. G. Model equations of nonlinear acoustics // Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. V. 11. P. 11–33.
     
  4. Hamilton M. F., Blackstock D. T. Nonlinear acoustics. New York: Acad. Press, 1998.
     
  5. Kaltenbacher B. Mathematics of nonlinear acoustics // Evol. Equ. Control Theory. 2015. V. 4. P. 447–491.
     
  6. Ichida N., Sato T., Linzer M. Imaging the nonlinear ultrasonic parameter of a medium // Ultrasonic Imaging. 1983. V. 5. P. 295–299.
     
  7. Буров В. А., Горюнов A. A., Сасковец А. В., Тихонова Т. А. Обратные задачи рассеяния в акустике // Акуст. журн. 1986. Т. 32, № 4. С. 433–449.
     
  8. Буров В. А., Гуринович И. Е., Руденко О. В., Тагунов Е. Я. Реконструкция пространственного распределения параметра нелинейности и скорости звука в акустической томографии // Акуст. журн. 1994. Т. 40, № 6. С. 922–929.
     
  9. Hettlich F., Rundell W. A second degree method for nonlinear inverse problems // SIAM J. Numer. Anal. 2000. V. 37. P. 587–620.
     
  10. Zhang D. Chen X., Gong X.-F. Acoustic nonlinearity parameter tomography for biological tissues via parametric array from a circular piston source. Theoretical analysis and computer simulations // J. Acoustical Soc. Amer. 2001. V. 109. P. 1219–1225.
     
  11. Kaltenbacher B., Rundell W. On the identification of the nonlinearity parameter in the Westervelt equation from boundary measurements // Inverse Problems and Imaging. 2021. V. 15, N 5. P. 865–891.
     
  12. Романов В. Г. Обратная задача для полулинейного волнового уравнения с нелинейным интегральным оператором // Сиб. мат. журн. 2025. Т. 66, № 2. С. 245–265.
     
  13. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2026- 0029).

Романов Владимир Гаврилович (ORCID 0000-0002-5426-4277)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: romanov@math.nsc.ru 

Статья поступила 30 апреля 2026 г.
После доработки — 31 мая 2026 г.
Принята к публикации 31 мая 2026 г.