Спектры нормированных объемов прямоугольных гиперболических многогранников

Спектры нормированных объемов прямоугольных гиперболических многогранников

Веснин А. Ю., Егоров А. А.
Сибирский математический журнал, 67, 4, 581-602 (2026)
Скачать статью

УДК 514.13+515.162 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.402

Аннотация:

Рассматриваются трехмерные гиперболические многогранники конечного объема с конечным числом вершин. Нормированным объемом многогранника называется отношение его объема к числу вершин. Если задано некоторое множество гиперболических многогранников, то ему можно сопоставить множество нормированных объемов входящих в него многогранников. Это множество будем называть спектром нормированных объемов рассматриваемого множества. Нас будут интересовать прямоугольные гиперболические многогранники. Для подмножества идеальных многогранников мы находим границы спектра нормированных объемов и доказываем их точность. Кроме того, показываем, что спектр делится на дискретную и всюду плотную части. Для подмножества компактных многогранников мы получаем оценки спектра нормированных объемов, доказываем точность верхней границы, а также устанавливаем числовые промежутки, на которых спектр дискретен и всюду плотен. Границы указанных числовых промежутков выражаются через объем правильного идеального гиперболического тетраэдра и объем правильного идеального гиперболического октаэдра.

Литература:
  1. Belletti G. The maximum volume of hyperbolic polyhedra // Trans. Am. Math. Soc. 2021. V. 374, N 2. P. 1125–1153.
     
  2. Costantino F., Gueritaud F., van der Veen R. On the volume conjecture for polyhedra // Geom. Dedicata. 2015. V. 179. P. 385–409.
     
  3. Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Am. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 9–24.
     
  4. Haagerup U., Munkholm H. Simplices of maximal volume in hyperbolic n-space // Acta Math. 1981. V. 147. P. 1–11.
     
  5. Веснин А. Ю. Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия // Успехи мат. наук. 2017. Т. 72, № 2. С. 147–190.
     
  6. Vesnin A. Volumes and normalized volumes of right-angled hyperbolic polyhedra // Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena Reggio Emilia. 2010. V. 57. P. 159–169.
     
  7. Atkinson C. Volume estimates for equiangular hyperbolic Coxeter polyhedra // Algebraic & Geometric Topology. 2009. V. 9. P. 1225–1254.
     
  8. Inoue T. Exploring the list of smallest right-angled hyperbolic polyhedra // Experimental Math. 2022. V. 31, N 1. P. 165–183.
     
  9. Vesnin A., Egorov A. Ideal right-angled polyhedra in Lobachevsky space // Chebyshevskii Sbornik. 2020. V. 21, N 2. P. 65–83.
     
  10. Champanerkar A., Kofman I., Purcell J. S. Geometrically and diagrammatically maximal knots // J. London Math. Soc. 2016. V. 94, N 3. P. 883–908.
     
  11. Burton S. D. The spectra of volume and determinant densities of links // Topology Appl. 2016. V. 211. P. 38–55. 
     
  12. Adams C., Calderon A., Mayer N. Generalized bipyramids and hyperbolic volumes of alternating k-uniform tiling links // Topology Appl. 2020. V. 271. 107045.
     
  13. Kwon A., Tham Y. H. On the volume density spectrum of fully augmented links // J. Knot Theory Ramif. 2025. V. 34. N 05. 2550011.
     
  14. Lackenby M. The volume of hyperbolic alternating link complements. With an appendix by I. Agol and D. Thurston // Proc. London Math. Soc. 2004. V. 88. P. 204–224.
     
  15. Purcell J. S. An introduction to fully augmented links // Interactions between hyperbolic geometry, quantum topology and number theory, Contemp. Math. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2011. V. 541. P. 205–220.
     
  16. Веснин А. Ю., Егоров А. А. Верхние оценки объемов обобщенных гиперболических многогранников и зацеплений // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 3. С. 534–551.
     
  17. Kwon A. Fully augmented links in the thickened torus // Algebraic & Geometric Topology. 2025. V. 25, N 3. P. 1411–1432.
     
  18. Прасолов В. В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО, 2004.
     
  19. Alekseevskij D. V., Vinberg E. B., Solodovnikov A. S. Geometry of spaces of constant curvature // Geometry II, Encyclopedia Math. Sci. Berlin: Springer-Verl., 1993. V. 29. P. 1–138.
     
  20. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Мат. сб. 1970. Т. 83, № 2. С. 256–260.
     
  21. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского // Мат. сб. 1970. Т. 81, № 3. С. 456–478.
     
  22. Roeder R. K. W., Hubbard J. H., Dunbar W. D. Andreev’s theorem on hyperbolic polyhedra // Ann. Inst. Fourier Grenoble. 2007. V. 57. P. 825–882.
     
  23. Brinkmann G., Greenberg S., Greenhill C., McKay B. D., Thomas R., Wollan P. Generation of simple quadrangulations of the sphere // Discrete Mathematics. 2005. V. 305. P. 33–54.
     
  24. Thurston W. P. The geometry and topology of three-manifolds. Collected works of William P. Thurston with commentary. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2022. V. IV.
     
  25. Egorov A., Vesnin A. Volume estimates for right-angled hyperbolic polyhedra // Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste. 2020. V. 52. P. 565–576.
     
  26. Александров С. А., Богачев Н. В., Веснин А. Ю., Егоров А. А. Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 2. С. 3–22.
     
  27. Inoue T. Organizing volumes of right-angled hyperbolic polyhedra // Algebraic & Geometric Topology. 2008. V. 8. P. 1523–1565.
     
  28. Погорелов А. В. О правильном разбиении пространства Лобачевского // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 1. С. 3–8.
     
  29. Борисенко А. А., Веснин А. Ю., Ивочкина Н. М. К столетию со дня рождения Алексея Васильевича Погорелова // Успехи мат. наук. 2019. Т. 74, № 6. С. 171–193.
     
  30. Egorov A., Vesnin A. On correlation of hyperbolic volumes of fullerenes with their properties // Comput. Math. Biophys. 2020. V. 8. P. 150–167.
     
  31. Веснин А. Ю. Трехмерные гиперболические многообразия типа Лёбелля // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 5. С. 50–53.
     
  32. Веснин А. Ю. Объемы трехмерных гиперболических многообразии Лёбелля // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 1. С. 17–23.
     
  33. Bogachev N., Douba S. Geometric and arithmetic properties of Löbell polyhedra // Algebr. Geom. Topol. 2025. V. 25, N 4. P. 2281–2295.
     
  34. Buser P., Mednykh A., Vesnin A. Lambert cube and Löbell polyhedron revisited // Advances in Geometry. 2012. V. 12. P. 525–548.
     
  35. Веснин А. Ю., Реповш Д. Двусторонние оценки объемов прямоугольных гиперболических многогранников // Мат. заметки. 2011. Т. 89, № 1. С. 12–18.
     
  36. Futer D., Gueritaud F. From angled triangulations to hyperbolic structures // Interactions between hyperbolic geometry, quantum topology and number theory. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2011. P. 159–182. (Contemp. Math.; V. 541).
     
  37. Веснин А. Ю., Егоров А. А. Прямоугольная группа Коксетера минимального кообъема в трехмерном гиперболическом пространстве // Сиб. мат. журн. 2025. Т. 66, № 6. С. 1037–1056.
     
  38. Adams C., Gomez-Raz F., Kang J., Krause L., Li G., Marple C., Tan Z. Hyperbolic handlebody complements in 3-manifolds // Topology Appl. 2026. V. 377. 109642.

Работа выполнена в рамках госзадания ИМ СО РАН, а именно А. Ю. Веснин поддержан проектом No. FWNF-2026-0031, А. А. Егоров поддержан проектом No. FWNF-2026-0011.

Веснин Андрей Юрьевич (ORCID 0000-0001-7553-1269)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: vesnin@math.nsc.ru 

Егоров Андрей Александрович (ORCID 0009-0007-8795-8148)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: a.egorov2@g.nsu.ru 

Статья поступила 6 апреля 2026 г.
После доработки — 16 апреля 2026 г.
Принята к публикации 18 апреля 2026 г.