О многомерных точных решениях эволюционного уравнения с волновым оператором и оператором Монжа — Ампера

О многомерных точных решениях эволюционного уравнения с волновым оператором и оператором Монжа — Ампера

Косов А. А., Семенов Э. И.
Сибирский математический журнал, 67, 2, 256-264 (2026)
Скачать статью

УДК 517.957 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.206

Аннотация:

Изучается эволюционное уравнение с волновым оператором и оператором Монжа — Ампера. Предложен вариант метода редукции с использованием аддитивного и мультипликативного разделения переменных для построения точных многомерных решений. Получены параметрические семейства анизотропных по пространственным переменным точных решений, выражаемые явным образом через элементарные и специальные функции и/или через решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрен случай, когда для построения точных решений исследуемого нелинейного многомерного уравнения используются известные решения линейного волнового уравнения с одной пространственной переменной. Приводится ряд примеров, иллюстрирующих полученные результаты.

Литература:
  1. Полянин А. Д. Точные решения и редукции нестационарных уравнений математической физики типа Монжа — Ампера // Вестн. Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». 2023. Т. 12, № 5. С. 276–288.
     
  2. Аксенов А. В., Полянин А. Д. Групповой анализ, редукции и точные решения уравнения Монжа — Ампера // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 6. С. 750–763.
     
  3. Polyanin A. D., Aksenov A. V. Unsteady magnetohydrodynamics PDE of Monge–Ampère type: Symmetries, closed-Form solutions, and reductions // Mathematics. V. 2024. V. 12. 2127.
     
  4. Aksenov A. V., Polyanin A. D. Symmetries, reductions and exact solutions of monstationary Monge–Amp´ere type equations // Mathematics. 2025. V. 13. 525.
     
  5. Dubinov A. E., Kitayev I. N. New exact solutions of the equation of non-linear dynamics of a lattice of electronic vortices in plasma in the framework of electron magnetohydrodynamics // Magnetohydrodynamics. 2020. V. 56, N 4. P. 369–375.
     
  6. Smirnov V. V., Chukbar K. V. «Phonons» in two–dimensional vortex lattices // J. Experimental and Theoret. Physics. 2001. V. 93, N 1. P. 126–135.
     
  7. Zaburdaev V. Yu., Smirnov V. V., Chukbar K. V. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices // Plasma Physics Reports. 2014. V. 30, N 3. P. 214–217.
     
  8. Крылов Н. В. Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 2. С. 290–303.
     
  9. Zhang Wei, Bao Jiguang. A Calabi theorem for solutions to the parabolic Monge–Ampére equation with periodic data // Ann. Inst. H. Poincaré. 2018. V. 35, N 5. P. 1143–1173.
     
  10. Рахмелевич И. В. Многомерное неавтономное эволюционное уравнение типа Монжа — Ампера // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, № 1. С. 64–80.
     
  11. Косов А. А., Семенов Э. И. О многомерных точных решениях обобщенных эволюционных уравнений Монжа — Ампера // Дифференц. уравнения. 2025. Т. 61, № 6. С. 748–762.
     
  12. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Separation of variables and exact solutions to nonlinear PDEs. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2021.
     
  13. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных решениях многомерной системы эллиптических уравнений со степенными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59, № 12. С. 1619–1640.
     
  14. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных решениях многомерного обобщенного уравнения Монжа — Ампера // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 10. С. 1334–1349.
     
  15. Косов А. А., Семенов Э. И. Обобщенное уравнение типа Монжа — Ампера и его многомерные точные решения // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2025. Т. 35, № 2. С. 215–230.
     
  16. Косов А. А., Семенов Э. И. Система уравнений с оператором Монжа — Ампера и ее многомерные точные решения // Сиб. мат. журн. 2025. Т. 66, № 4. С. 669–682.
     
  17. Полянин А. Д. Уравнения и задачи математической физики. Ч. 2. Справочник для вузов. М.: ЮРАЙТ, 2023.
     
  18. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (темы FWEW-2026-0009 и FWEW-2026-0010).

Косов Александр Аркадьевич (ORCID 0000-0003-1352-1828)
  1. Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, Иркутск 664033

E-mail: kosov_idstu@mail.ru

Семенов Эдуард Иванович (ORCID 0000-0002-9768-9945)
  1. Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, Иркутск 664033

E-mail: edwseiz@gmail.com 

Статья поступила 6 июля 2025 г.
После доработки — 6 июля 2025 г.
Принята к публикации 20 октября 2025 г.