Конечные факторизуемые группы с метабелевыми подгруппами Шмидта в сомножителях

Конечные факторизуемые группы с метабелевыми подгруппами Шмидта в сомножителях

Коновалова М. Н., Монахов В. С.
Сибирский математический журнал, 67, 2, 246-255 (2026)
Скачать статью

УДК 512.542 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.205

Аннотация:

Группой Шмидта называют конечную ненильпотентную группу, у которой все собственные подгруппы нильпотентны. Исследуется конечная группа $G = AB$ при условии, что все подгруппы Шмидта в $A$ и в $B$ имеют равные производные длины. В этой ситуации, в частности, доказано, что если $A$ и $B$ субнормальны в $G$, а индексы подгрупп $A$ и $B$ взаимно просты, то все подгруппы Шмидта в $G$ имеют равные производные длины. Кроме того, получена характеризация конечных групп, в которых каждая метабелева подгруппа нильпотентна. В частности, такая группа 2-замкнута и производная длина каждой ее подгруппы Шмидта равна 3. Отсюда следует, что в каждой ненильпотентной группе с единичной подгруппой Фраттини существует метабелева подгруппа Шмидта.

Литература:
  1. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. 1924. Т. 31. С. 366–372.
     
  2. Huppert B. Endliche Gruppen. I.. Berlin: Springer-Verl., 1967.
     
  3. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.
     
  4. Мазуров В. Д., Сыскин C. А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами // Мат. заметки. 1973. Т. 14, № 2. С. 217–222.
     
  5. Журтов А. Х., Сыскин С. А. О группах Шмидта // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 26, № 2. С. 74–78.
     
  6. Монахов В. С. О конечных группах с заданным набором подгрупп Шмидта // Мат. заметки. 1995. Т. 58, № 5. С. 717–722.
     
  7. Монахов В. С. О трех формациях над $\mathfrak{U}$ // Мат. заметки. 2021. Т. 110, № 3. С. 358–367.
     
  8. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.
     
  9. Васильев А. Ф., Васильева Т. И., Симоненко Д. Н. О $MP$-замкнутых насыщенных формациях конечных групп // Изв. вузов. Математика. 2017. № 6. С. 9–17.
     
  10. Yia Xiaolan, Jiang Shunhuan, Kamornikov Sergey. A new formation with Shemetkov property // Commun. Algebra. 2024. V. 52, N 12. P. 5180–5185.
     
  11. Васильев А. Ф., Васильева Т. И., Тютянов В. Н. О произведениях $P$-субнормальных подгрупп в конечных группах // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 1. С. 59–67.
     
  12. Трофимук А. А. Конечные факторизуемые группы с ограничениями на сомножители. Минск: Издательский центр БГУ, 2021.
     
  13. Монахов В. С. Конечные факторизуемые группы с $\mathbb{P}$-субнормальными $v$-сверхразрешимыми и $sh$-сверхразрешимыми сомножителями // Мат. заметки. 2022. Т. 111, № 3. С. 403–410.
     
  14. Скиба А. Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп // Докл. АН БССР. 1990. Т. 34, № 11. С. 982–985.
     
  15. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; New York: Walter De Gruyter, 1992.
     
  16. Васильев А. Ф., Мурашко В. И. Арифметические графы и классы конечных групп // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 1. С. 55–73.
     
  17. Kegel O. H. Zur Struktur mehrfach factorisierbarer endlicher Gruppen // Math. Z. 1965. V. 87, N 1. P. 42–48.
     
  18. Pennington E. Trifactorisable groups // Bull. Austral. Math. Soc. 1973. V. 8. P. 461–469.
     
  19. Монахов В. С. Конечные группы с абнормальными и $\mathfrak{U}$-субнормальными подгруппами // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 2. С. 447–462.
     
  20. A system for computational discrete algebra GAP 4.12.2 [Electronic resource]. Mode of access: https://www.gap-system.org. Date of Access: 10.09.2023.
     
  21. Alejandre M. J., Ballester-Bolinches A., Cossey J., Pedraza-Aguilera M. C. On some permutable products of supersoluble groups // Rev. Mat. Iberoamericana. 2004. V. 20. P. 413–425.

Работа выполнена при финансовой поддержке БРФФИ в рамках научного проекта № Ф24КИ-021.

Коновалова Марина Николаевна (ORCID 0000-0002-0338-237X)
  1. Брянский филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ 
    ул. Дуки, 61, Брянск 241050

E-mail: msafe83@mail.ru 

Монахов Виктор Степанович (ORCID 0000-0003-0977-7396)
  1. Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины 
    ул. Советская, 104, Гомель 246019, Беларусь

E-mail: victor.monakhov@gmail.com 

Статья поступила 14 июля 2025 г.
После доработки — 19 декабря 2025 г.
Принята к публикации 19 декабря 2025 г.