Сходимость мер в метрике Канторовича и приближение гауссовских мер

Сходимость мер в метрике Канторовича и приближение гауссовских мер

Богачев В. И.
Сибирский математический журнал, 67, 2, 197-212 (2026)
Скачать статью

УДК 517.3 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.202

Аннотация:

Доказаны два результата о приближении борелевских мер в метрике Канторовича. Первый результат дает скорость сходимости в этой метрике нормированных поверхностных мер на $n$-мерных сферах к стандартной гауссовской мере на счетной степени прямых, ограниченной на произвольное непрерывно вложенное сепарабельное банахово пространство полной меры, а второй для произвольной слабо сходящейся последовательности вероятностных борелевских мер на сепарабельном пространстве Фреше дает достаточное условие сходимости в метрике Канторовича, порожденной нормой компактно вложенного сепарабельного банахова пространства.

Литература:
  1. Borel E. Introduction géométrique à quelques théories physiques. Paris: Gauthier-Villars, 1914.
     
  2. Gâteaux R. Sur la notion d’intégrale dans le domaine fonctionnel et sur la théorie du potentiel // Bull. Soc. Math. France. 1919. V. 47. P. 48–67.
     
  3. Lévy P. Leçons d′analyse fonctionnelle. Paris: Gauthier-Villars, 1922.
     
  4. Hida T., Nomoto H. Gaussian measure on the projective limit space of spheres // Proc. Japan Acad. 1964. V. 40. P. 301–304.
     
  5. Umemura Y., Kôno N. Infinite dimensional Laplacian and spherical harmonics // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A. 1965/66. V. 1. P. 163–186.
     
  6. Mckean H. Geometry of differential space // Ann. Prob. 1973. V. 1. P. 197–206.
     
  7. Diaconis P., Freedman D. A dozen de Finetti-style results in search of a theory // Ann. Inst. H. Poincaré. Probab. et Statist. 1987. V. 23, suppl. N 2. P. 397–423.
     
  8. Stam A. J. Limit theorems for uniform distributions on spheres in high-dimensional Euclidean spaces // J. Appl. Probab. 1982. V. 19, N 1. P. 221–228.
     
  9. Chatterjee S., Meckes E. Multivariate normal approximation using exchangeable pairs // ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 2008. V. 4. P. 257–283.
     
  10. Peterson A., Sengupta A. N. The Gaussian limit for high-dimensional spherical means // J. Funct. Anal. 2019. V. 276, N 3. P. 815–866.
     
  11. Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Rhode Island, Providence: Am. Math. Soc., 2001.
     
  12. Villani C. Optimal transport, old and new. New York: Springer, 2009.
     
  13. Зорич В. А. Многомерная геометрия, функции очень многих переменных и вероятность // Теория вероятностей и ее применения. 2014. Т. 59, № 3. С. 436–451.
     
  14. Bogachev V. I. Gaussian measures. Rhode Island, Providence: Am. Math. Soc., 1998.
     
  15. Богачев В. И., Колесников А. В., Шапошников С. В. Задачи Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки.. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2023.
     
  16. Канторович Л. В. О перемещении масс // Докл. АН СССР. 1942. Т. 37, № 7-8. С. 227–229.
     
  17. Канторович Л. В., Рубинштейн Г. Ш. Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах // Докл. АН СССР. 1957. Т. 115, № 6. С. 1058–1061.
     
  18. Канторович Л. В., Рубинштейн Г. Ш. Об одном пространстве вполне аддитивных функций множества // Вестн. ЛГУ. 1958. № 7, вып. 2. С. 52–59.
     
  19. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
     
  20. Богачев В. И., Колесников А. В. Задача Монжа — Канторовича: достижения, связи и перспективы // Успехи мат. наук. 2012. Т. 67, № 5. С. 3–110.
     
  21. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2020.
     
  22. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. 5-е изд. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2006.
     
  23. Bogachev V. I. Weak convergence of measures. Rhode Island, Providence: Am. Math. Soc., 2018.
     
  24. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. 7-е изд. М.: Наука, 1970. 
     
  25. Bogachev V. I. Measure theory. V. 1, 2. New York: Springer, 2007.
     
  26. Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Topological vector spaces. Cham: Springer, 2017.
     
  27. Davis W.J., Figiel T., Johnson W.B., Pełczy´nski A. Factoring weakly compact operators // J. Funct. Anal. 1974. V. 17. P. 311–327.
     
  28. Afonin K. A., Bogachev V. I. Kantorovich type topologies on spaces of measures and convergence of barycenters // Commun. Pure Appl. Anal. 2023. V. 22, N 2. P. 597–612.
     
  29. Афонин К. А. Двойственность в задаче Канторовича с фиксированным барицентром и барицентры функционалов // Функцион. анализ и его прил. 2024. Т. 58, № 2. С. 5–22.
     
  30. Арсенович М., Богачев В. И., Крстич М. Интегрирование функций со значениями в пространствах мер // Тр. МИАН. 2025. Т. 331.

Работа поддержана грантом РНФ № 25-11-00007, выполняемым при МГУ им. М. В. Ломоносова.

Богачев Владимир Игоревич (ORCID 0000-0001-5249-2965)
  1. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет,
    Ленинские горы, 1, Москва 119991
  2. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», факультет математики, 
    ул. Усачева, 6, Москва 119048
  3. Православный Свято-Тихоновский гуманитарный университет, 
    ул. Новокузнецкая, 23б, Москва 115184

E-mail: vibogach@mail.ru 

Статья поступила 20 декабря 2025 г.
После доработки — 20 декабря 2025 г.
Принята к публикации 12 февраля 2026 г.