Теорема Планса для конусов над обобщенным I-графом

Теорема Планса для конусов над обобщенным $I$-графом

Медных И. А.
Сибирский математический журнал, 67, 1, 122-134 (2026)
Скачать статью

УДК 517.545+519.173+519.177 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.110

Аннотация:

Рассматривается семейство графов, обобщающее семейство $I$-графов, которое, в свою очередь, включает обобщенные графы Петерсена и призматические графы. Работа посвящена исследованию критической группы графа, представляющего собой конус над обобщенным $I$-графом. 

Основным результатом статьи является аналог теоремы Планса (1953), описывающей первую группу гомологий $n$-листного циклического накрытия трехмерной сферы, разветвленного над узлом. Она утверждает, что указанная группа гомологий является почти прямой суммой двух копий некоторой абелевой группы. В работе аналогичные результаты установлены для структуры критической группы рассматриваемых графов.

Литература:
  1. Bouwer I. Z., Chernoff W. W., Monson B., Star Z. The Foster census: RM Foster’s census of connected symmetric trivalent graphs. Winnipeg, Canada: Charles Babbage Research Centre, 1988.
     
  2. Boben M., Pisanski T., Žitnik A. $I$-graphs and the corresponding configurations // J. Combinatorial Designs. 2005. V. 13, N 6. P. 406–424.
     
  3. Petkovsěk M., Zakrajsek H. Enumeration of $I$-graphs: Burnside does it again // Ars Math. Contemp. 2009. V. 2, N 2. P. 241–262.
     
  4. Horvat B., Pisanski T., Žitnik A. Isomorphism checking of $I$-graphs // Graphs and Combinatorics. 2012. V. 28, N 6. P. 823–830.
     
  5. Mednykh I. A. On Jacobian group and complexity of the $I$-graph $I(n, k, l)$ through Chebyshev polynomials // Ars Math. Contemp. 2018. V. 15, N 2. P. 467–485.
     
  6. Abrosimov N. V., Baigonakova G. A., Mednykh I. A. Counting spanning trees in cobordism of two circulant graphs // Sib. Electron. Math. Rep. 2018. V. 15. P. 1145–1157.
     
  7. Abrosimov N. V., Baigonakova G. A., Grunwald L. A., Mednykh I. A. Counting rooted spanning forests in cobordism of two circulant graphs // Sib. Electron. Math. Rep. 2020. V. 17. P. 814–823.
     
  8. Kwon Y. S., Mednykh A. D., Mednykh I. A. Complexity of the circulant foliation over a graph // J. Algebraic Combin. 2021. V. 53, N 1. P. 115–129.
     
  9. Grunwald L. A., Kwon Y. S., Mednykh I. A. Counting rooted spanning forests for circulant foliation over a graph // Tohoku Math. J. (2). 2022. V. 74, N 4. P. 535–548.
     
  10. Plans A. Aportación al estudio de los grupos de homologia de los recubrimientos ciclicos ramificados correspondientes a un nudo // Rev. Acad. Ci. Madrid. 1953. V. 47. P. 161–193.
     
  11. Stevens W. H. On the homology of branched cyclic covers of knots (1996). Louisiana State University Historical Dissertations and Theses. 6282. https://repository.lsu.edu/gradschooldisstheses/6282 
     
  12. Bredon G. E. Introduction to compact transformation groups. New York: Acad. Press, 1972. (Pure Appl. Math.; V. 46).
     
  13. Dhar D., Ruelle P., Sen S., Verma D.-N. Algebraic aspects of Abelian sandpile models // J. Phys. A: Math. Gen. 1995. V. 28, N 4. P. 805–831.
     
  14. Bacher R., de la Harpe P., Nagnibeda T. The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph // Bull. Soc. Math. France. 1997. V. 125, N 2. P. 167–198.
     
  15. Biggs N. L. Chip-firing and the critical group of a graph // J. Algebraic Combin. 1999. V. 9, N 1. P. 25–45.
     
  16. Kotani M., Sunada T. Jacobian tori associated with a finite graph and its Abelian covering graphs // Adv. Appl. Math. 2000. V. 24, N 2. P. 89–110.
     
  17. Baker M., Norine S. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs // Int. Math. Res. Not. 2009. V. 15. P. 2914–2955.
     
  18. Lorenzini D. Smith normal form and Laplacians // J. Combin. Theory Ser. B. 2008. V. 98, N 6. P. 1271–1300.
     
  19. Davis P. J. Circulant matrices. Madison, USA: AMS Chelsea Publishing, 1994.
     
  20. Mason J. C., Handscomb D. C. Chebyshev polynomials. Boca Raton: CRC Press, 2003.
     
  21. Медных А. Д., Медных И. А., Соколова Г. К. Сопровождающая матрица суперпозиции полиномов и ее применение к теории узлов // Докл. АН. Математика, информатика, процессы управления. 2025. Т. 521. С. 72–80.
     
  22. Grunwald L. A., Mednykh I. A. On the Jacobian group of a cone over a circulant graph // Мат. заметки СВФУ. 2021. V. 28, N 2. P. 88–101.
     
  23. Huang D. A cyclic six-term exact sequence for block matrices over a PID // Linear Multilinear Algebra. 2001. V. 49, N 2. P. 91–114.
     
  24. Kutateladze S. S. Fundamentals of functional analysis. Netherlands: Springer Science & Business Media, 2013.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2026- 0026.

Медных Илья Александрович (ORCID 0000-0001-7682-3917)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

E-mail: ilyamednykh@mail.ru

Статья поступила 6 мая 2025 г.
После доработки — 6 мая 2025 г.
Принята к публикации 20 июня 2025 г.