Обратная задача для уравнений электродинамики с памятью

Обратная задача для уравнений электродинамики с памятью

Романов В. Г.
Сибирский математический журнал, 66, 6, 1153-1161 (2025)
Скачать статью

УДК 517.956 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.612

Аннотация:

Рассматриваются уравнения электродинамики, в которых диэлектрическая проницаемость и проводимость среды обладают «памятью». Благодаря этому решение уравнений зависит от всей предыстории процесса распространения волн. Предполагается, что ядра интегральных операторов, моделирующие свойство памяти, зависят от пространственных и временной переменных, причем эти ядра допускают представление в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от пространственных переменных, а вторая — от временной. Функции, зависящие от временной переменной, считаются заданными, а зависящие от пространственных переменных неизвестными и подлежат отысканию. Принимается, что эти функции $p(x)$ и $q(x)$, отвечающие ядрам, описывающим свойства памяти диэлектрической проницаемости и проводимости, соответственно являются финитными функциями, их носитель содержится внутри некоторого шара $B$ конечного радиуса. Для решения обратной задачи рассматривается прямая задача с полностью известными ядрами и ее специальное решение для однородной среды, соответствующее бегущей дельта-образной волне, распространяющейся в направлении $\nu$. Эта волна падает на неоднородность, сосредоточенную в $B$, и на границе этого шара измеряется амплитуда сингулярной части решения и амплитуда первой производной по времени его регулярной части на фронте волны. Соответствующая информация, зафиксированная для различных направлений $\nu$, и является исходной для решения обратной задачи. В работе показано, что задачи об определении функций $p(x)$ и $q(x)$ сводятся к последовательному решению хорошо известной задачи рентгеновской томографии. Следовательно, решение рассматриваемой обратной задачи единственно и может быть эффективно найдено как аналитически, так и численно.

Литература:
  1. Lorenzi A., Sinestrari E. An inverse problem in the theory of materials with memory. I // Nonlinear Analysis. Theory Methods & Applications. 1988. V. 12. P. 1317–1335.
     
  2. Дурдиев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 574–582.
     
  3. Janno J., von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity // Math. Methods Appl. Sci. 1997. V. 20, N 4. P. 291–314.
     
  4. Lorenzi A., Messina F., Romanov V. G. Recovering a Lamé kernel in a viscoelastic system // Appl. Anal. 2007. V. 86, N 11. P. 1375–1395.
     
  5. Lorenzi A., Romanov V. G. Recovering two Lamé kernels in a viscoelastic system // Inverse Probl. Imaging. 2011. V. 5, N 2. P. 431–464.
     
  6. Романов В. Г. Трехмерная обратная задача вязкоупругости // Докл. АН. 2011. Т. 441, № 4. С. 452–455.
     
  7. Романов В. Г. Оценки устойчивости решения в задаче об определении ядра уравнения вязкоупругости // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1. С. 86–98.
     
  8. Durdiev D. K., Totieva Z. D. The problem of determining the one-dimensional matrix kernel of the system of viscoelasticity equations // Math. Meth. Appl. Sci. 2018. V. 41, N 17. P. 8019–8032.
     
  9. Kaltenbacher B., Khristenko U., Nikolić V., Rajendran M. L., Wohlmuth B. Determining kernels in linear viscoelasticity // J. Comput. Physics. 2022. V. 464. 111331.
     
  10. Durdiev D. K. Global solvability of an inverse problem for an integro-differential equation of electrodynamics // Differ. Equ. 2008. V. 44, N 7. P. 893–899.
     
  11. Романов В. Г. Оценка устойчивости решения в обратной задаче электродинамики // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52, № 4. С. 861–875.
     
  12. Романов В. Г. Обратная задача для полулинейного волнового уравнения с нелинейным интегральным оператором // Сиб. мат. журн. 2025. Т. 66, № 2. С. 245–265.
     
  13. Durdiev D. K., Totieva Z. D. Kernel determination problems in hyperbolic integro-differential equations // Springer Singapore, "Infosys Science Foundation Series in Mathematical Sciences". 2023. P. 368.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF2022-0009).

Романов Владимир Гаврилович (ORCID 0000-0002-5426-4277)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: romanov@math.nsc.ru 

Статья поступила 14 августа 2025 г.
После доработки — 14 августа 2025 г.
Принята к публикации 22 августа 2025 г.