Множественность асимптотических серий собственных чисел третьей краевой задачи с большим отрицательным коэффициентом Робэна

Множественность асимптотических серий собственных чисел третьей краевой задачи с большим отрицательным коэффициентом Робэна

Назаров С. А.
Сибирский математический журнал, 66, 6, 1108-1133 (2025)
Скачать статью

УДК 517.956.8:517.956.227 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.610

Аннотация:

Изучается асимптотика собственных чисел и функции спектральной задачи для оператора Лапласа в плоской области с третьим краевым условием на границе, причем (переменный) коэффициент Робэна в нем отрицательный и большой. Приведены известные и новые асимптотические формулы для собственных чисел, как отрицательных, так и положительных, и для собственных функций, выявляющие разнообразные способы их локализации. Помимо формального асимптотического анализа и краткого обзора предшествующих результатов изложена процедура обоснования асимптотики в не изученном ранее случае неизменного коэффициента Робэна и глобального вырожденного максимума кривизны границы, реализующегося в нескольких точках.

Литература:
  1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. M.: Наука, 1973.
     
  2. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3–122.
     
  3. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, № 4. С. 27–95.
     
  4. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I. // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, № 3. С. 3–80.
     
  5. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. M.: Мир, 1972.
     
  6. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. M.: Наука, 1969.
     
  7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (релятивистская теория). M.: Наука, 1974.
     
  8. Камоцкий И. В., Назаров С. А. О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области // Проблемы математического анализа. Новосибирск: Науч. книга, 1999. Т. 18. С. 105–148.
     
  9. Lacey A. A., Ockendon J. R., Sabina J. Multidimensional reaction diffusion equations with nonlinear boundary conditions // SIAM J. Appl. Math. 1998. V. 58, N 5. P. 1622–1647.
     
  10. Lou Y., Zhu M. A singularly perturbed linear eigenvalue problem in $C^1$ domains // Pacific J. Math. 2004. V. 214, N 2. P. 323–334.
     
  11. Levitin M., Parnovski L. On the principal eigenvalue of a Robin problem with a large parameter // Math. Nachr. 2008. V. 281, N 2. P. 272–281.
     
  12. Pankrashkin K. On the asymptotics of the principal eigenvalue problem for a Robin problem with a large parameter in a planar domain // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2013. V. 4, N 4. P. 474–483. 
     
  13. Exner P., Minakov A., Parnovski L. Asymptotic eigenvalue estimates for a Robin problem with a large parameter // Port. Math. 2014. V. 71, N 2. P. 141–156.
     
  14. Daners D., Kennedy J. B. On the asymptotic behaviour of the eigenvalues of a Robin problem // Differ. Integr. Equ. 2010. V. 23. P. 659–669.
     
  15. Helffer B., Kachmar A. Eigenvalues for the Robin Laplacian in domains with variable curvature // Trans. Am. Math. Soc. 2017. V. 369, N 2. P. 3253–3287.
     
  16. Helffer B., Kachmar A. Semi-classical edge states for the Robin Laplacian // Mathematika. 2022. V. 68, N 2. P. 454–485.
     
  17. Назаров С. А. «Паразитные» собственные значения задачи с краевыми условиями третьего типа // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 2023. Т. 63, № 7. С. 1128–1144.
     
  18. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys. 2008. V. 15, N 2. P. 238–242.
     
  19. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel J. Math. 2009. V. 170. P. 337–354.
     
  20. Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. Henri Poincar´e. Anal. Non Lin`eaire. 2009. V. 26, N 2. P. 547–560.
     
  21. Borisov D., Freitas P. Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in Rd // J. Funct. Anal. 2010. V. 258, N 3. P. 893–912.
     
  22. Nazarov S. A., Perez E., Taskinen J. Localization effect for Dirichlet eigenfunctions in thin non-smooth domains // Trans. Am. Math. Soc. 2016. V. 368, N 1. P. 4787–4829.
     
  23. Назаров С. А. Локализация собственных колебаний тонких упругих прокладок // Прикл. математика и механика. 2024. Т. 88, № 1. С. 104–138.
     
  24. Mazja W. G., Nasarow S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten.. Berlin: Akademie-Verl., 1991. V. 1 & 2.
     
  25. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. M.: Наука, 1989.
     
  26. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. M.: Мир, 1966.
     
  27. Бабич В. М. Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. M.: Наука, 1972.
     
  28. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
     
  29. Назаров С. А. Околовершинная локализация собственных функций задачи Дирихле в тонких многогранниках // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 84, № 3. С. 655–672.
     
  30. Ourmiéres-Bonafos T. Dirichlet eigenvalues of asymptotically flat triangles // Asymptot. Anal. 2015. V. 92, N 3–4. P. 279–312.
     
  31. Daners D. Robin boundary problems on arbitrary domains // Trans. Am. Math. Soc. 2000. V. 352, N 4. P. 4207–4236.
     
  32. Daners D. A Faber–Krahn inequality for Robin problems in any space dimension // Math. Ann. 2006. V. 335, N 4. P. 767–785.
     
  33. Nazarov S. A., Taskinen J. Spectral anomalies of the Robin Laplacian in non-Lipschitz domains // J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 2013. V. 20, N 1. P. 27–90.
     
  34. Kovarîk H., Pankrashkin K. Robin eigenvalues on domains with peaks // J. Differ. Equ. 2019. V. 267, N 4. P. 1600–1630.
     
  35. Pankrashkin K. On the discrete spectrum of Robin Laplacians in conical domains // Math. Model. Nat. Phenom. 2016. V. 11, N 2. P. 100–110.
     
  36. Khalile M., Pankrashkin K. Eigenvalues of Robin Laplacians in infinite sectors // Math. Nachr. 2018. V. 291, N 4. P. 928–965.
     
  37. Kozlov V. A., Maz′ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in multi-structures.. Oxford: Clarendon Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).
     
  38. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Науч. книга, 2002.
     
  39. Назаров С. А. Равномерные оценки остатков в асимптотических разложениях решений задачи о собственных колебаниях пьезоэлектрической пластины // Проблемы математического анализа. Новосибирск: Науч. книга, 2003. Т. 25. С. 99–188.
     
  40. Lobo M., Nazarov S. A., Perez E. Eigen-oscillations of contrasting non-homogeneous elastic bodies: asymptotic and uniform estimates for eigenvalues // IMA J. Appl. Math. 2005. V. 70, N 3. P. 419–458.
     
  41. Lanza de Cristoforis M. Asymptotic behavior of the solutions of the Dirichlet problem for the Laplace operator in a domain with a small hole. A functional analytic approach // Analysis. 2008. V. 28, N 1. P. 63–93.
     
  42. Lanza de Cristoforis M. Simple Neumann eigenvalues for the Laplace operator in a domain with a small hole. A functional analytic approach // Rev. Mat. Complut. 2012. V. 24, N 2. P. 369–412.
     
  43. Назаров С. А. Асимптотические разложения собственных чисел задачи Стеклова в сингулярно возмущенных областях // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 2. С. 119–184.
     
  44. Pankrashkin K., Popoff N. Mean curvature bounds and eigenvalues of Robin Laplacians // Calculus of Variations and Partial Differ. Equ. 2015. V. 54, N 2. P. 1947–1961.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № 075-15-2025-344 от 29.04.2025 в Санкт-Петербургском международном математическом институте имени Леонарда Эйлера, ПОМИ РАН).

Назаров Сергей Александрович (ORCID 0000-0002-8552-1264)
  1. Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 
    Набережная реки Фонтанки, 27, Санкт-Петербург, 191011

E-mail: srgnazarov@yahoo.co.uk, srgnazarov108@gmail.com 

Статья поступила 25 августа 2025 г.
После доработки — 25 августа 2025 г.
Принята к публикации 26 сентября 2025 г.