Шварциан и критические значения полинома с вещественными критическими точками

Шварциан и критические значения полинома с вещественными критическими точками

Дубинин В. Н.
Сибирский математический журнал, 66, 6, 1074-1078 (2025)
Скачать статью

УДК 512.62+517.54 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.607

Аннотация:

Для комплексного полинома степени не меньше двух, сохраняющего начало координат и имеющего все свои критические точки на вещественной положительной либо отрицательной полуоси, устанавливается точная нижняя граница для наибольшего модуля критических значений. Данная оценка включает производную Шварца этого полинома в начале координат и не зависит от степени полинома. Аналогичная оценка приводится в случае, когда все критические точки полинома вещественные и расположены по разные стороны от начала координат.

Литература:
  1. Smale S. The fundamental theorem of algebra and complexity theory // Bull. Am. Math. Soc. 1981. V. 4, N 1. P. 1–36.
     
  2. Дубинин В. Н. Методы геометрической теории функций в классических и современных задачах для полиномов // Успехи мат. наук. 2012. Т. 67, № 4. С. 3–88.
     
  3. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р., Насыров С. Р. Экстремальные проблемы в геометрической теории функций // Успехи мат. наук. 2023. Т. 78, № 2. С. 3–70.
     
  4. Дубинин В. Н. Об одной экстремальной задаче для комплексных полиномов с ограничениями на их критические значения // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 1. С. 79–69.
     
  5. Дубинин В. Н. Неравенство марковского типа и нижняя оценка модулей критических значений полиномов // Докл. АН. 2013. Т. 451, № 5. С. 495–497.
     
  6. Hinkkanen A., Kayumov I. On critical values of polynomials with real critical points // Constructive Approximation. 2010. V. 32, N 2. P. 385–392.
     
  7. Epstein A. Symmetric rigidity for real polynomials with real critical points // Contemp. Math. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2002. V. 311. P. 107–114.
     
  8. Brown J. E., Powell V. F. A result on real polynomials with real critical points // J. Anal. Appl. 2007. V. 5, N 1. P. 41–52.
     
  9. Kozlovski O., Shen W., van Strien S. Rigidity for real polynomials // Ann. Math. 2007. V. 2, N 3. P. 749–841.
     
  10. Bishop D. L. Approximation by polynomials with only real critical points // Rev. Mat. Iberoam. 2024. V. 40, N 6. P. 2251–2290.
     
  11. Дубинин В. Н. Об одном классе однолистных функций // Дальневост. мат. журн. 2012. Т. 12, № 2. С. 184–194.
     
  12. Bolotnikov V. Several inequalities for the Schwarzian derivative of a bounded analytic function // Complex Var. Elliptic Equ. 2019. V. 64, N 7. P. 1093–1102.

Исследование выполнено в рамках государственного задания ИПМ ДВО РАН № 075- 00459-25-00.

Дубинин Владимир Николаевич (ORCID 0000-0002-4403-155X)
  1. Институт прикладной математики ДВО РАН, 
    ул. Радио, 7, Владивосток 690041

E-mail: dubinin@iam.dvo.ru 

Статья поступила 15 июля 2025 г.
После доработки — 15 июля 2025 г.
Принята к публикации 30 июля 2025 г.