Прямоугольная группа Коксетера минимального кообъема в трехмерном гиперболическом пространстве

Прямоугольная группа Коксетера минимального кообъема в трехмерном гиперболическом пространстве

Веснин А. Ю., Егоров А. А.
Сибирский математический журнал, 66, 6, 1037-1056 (2025)
Скачать статью

УДК 514.13+512.817 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.604

Аннотация:

Доказано, что среди всех прямоугольных групп Коксетера в трехмерном гиперболическом пространстве наименьший кообъем имеет группа, порожденная отражениями в гранях прямоугольной треугольной бипирамиды. Эта бипирамида имеет три идеальные и две конечные вершины. Группа является арифметической и кообъем равен константе Каталана $G = 0,915965 \dots$ .

Литература:
  1. Best L. A. On torsion-free discrete subgroups of PSL(2,C) with compact orbit space // Canad. J. Math. 1971. V. 23, N 3. P. 451–460.
     
  2. Веснин А. Ю. Трехмерные гиперболические многообразия типа Лёбелля // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 5. С. 50–53.
     
  3. Ratcliffe J. Foundations of hyperbolic manifolds. Berlin: Springer, 2006. (Graduate Text in Mathematics; V. 149). 
     
  4. Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. V. 35, N 3. P. 588–621.
     
  5. Винберг Э. Б. Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского // Мат. сб. 1967. Т. 114, № 3. С. 471–488.
     
  6. Винберг Э. Б. Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности // Тр. Моск. мат. о-ва. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. Т. 47. С. 68–102.
     
  7. Bugaenko V. Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, and reflective hyperbolic lattices // Lie groups, their discrete subgroups, and invariant theory. Adv. Sov. Math. 1992. V. 8. P. 33–55.
     
  8. Прохоров М. Н. Отсутствие дискретных групп отражений с некомпактным фундаментальным многогранником конечного объема в пространстве Лобачевского большой размерности // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1986. Т. 50, № 2. С. 413–424.
     
  9. Хованский А. Г. Гиперплоские сечения многогранников, торические многообразия и дискретные группы в пространстве Лобачевского // Функцион. анализ и его прил. 1986. Т. 20, № 1. С. 50–61.
     
  10. Винберг Э. Б., Каплинская И. М. О группах $O_{18,1}(\mathbb Z)$ и $O_{19,1}(\mathbb Z)$ // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 6. С. 1273–1275.
     
  11. Borcherds R. Coxeter groups, Lorentzian lattices, and $K$3 surfaces // Internat. Math. Res. Notices. 1998. N 19. P. 1011–1031.
     
  12. Allcock D. Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19 // Geometry & Topology. 2006. V. 10. P. 737–758.
     
  13. Potyagailo L., Vinberg E. On right-angled reflection groups in hyperbolic spaces // Comment. Math. Helv. 2005. V. 80. P. 63–73.
     
  14. Dufour G. Notes on right-angled Coxeter polyhedra in hyperbolic spaces // Geom. Dedicata. 2010. V. 147. P. 227–282.
     
  15. Винберг Э. Б. Некоторые примеры кристаллографических групп в пространствах Лобачевского // Мат. сб. 1969. Т. 120, № 4. С. 633–639.
     
  16. Dunbar W. D., Meyerhoff G. R. Volumes of hyperbolic 3-orbifolds // Indiana Univ. Math. J. 1994. V. 43, N 2. P. 611–637.
     
  17. Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Am. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 9–24.
     
  18. Винберг Э. Б. Гиперболические группы отражений // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, № 1. С. 29–66.
     
  19. Abrosimov N. V., Stepanishchev S. V. The volume of a trirectangular hyperbolic tetrahedron // Sib. Electron. Math. Rep. 2023. V. 20, N 1. P. 275–284.
     
  20. Everitt B., Ratcliffe J. G., Tschantz S. Right-angled Coxeter polytopes, hyperbolic six-manifolds, and a problem of Siegel // Math. Ann. 2012. V. 354. P. 871–905.
     
  21. Ratclife J., Tschantz S. The volume spectrum of hyperbolic 4-manifolds // Experimental Mathematics. 2000. V. 9, N 1. P. 101–125.
     
  22. OEIS. The on-line encyclopedia of integers sequences. Available at https://oeis.org/A006752
     
  23. Catalan E. Sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies // Mémoties de l’Académie royale de Belgique. 1867. V. 33. P. 1–50.
     
  24. Papanikolaou T. Catalan’s Constant to 1,500,000 Places. https://www.gutenberg.org/ebooks /812
     
  25. Maclachlan C., Reid A. W. The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds. Berlin: Springer, 2003. (Graduate Text Math.; V. 219).
     
  26. Siegel C. L. Some remarks on discontinuous groups // Ann. Math. 1945. V. 46, N 2. P. 708–718.
     
  27. Belolipetsky M. Hyperbolic orbifolds of small volume // Proc. ICM 2014. V. 2. P. 837–851. The preprint version is available at https://arxiv.org/abs/1402.5394
     
  28. Adams C. C. The non-compact hyperbolic 3-manifold of small volume // Proc. Am. Math. Soc. 1987. V. 100, N 4. P. 601–606.
     
  29. Chinburg T., Friedman E. The smallest arithmetic hyperbolic three-orbifold // Invent. Math. 1986. V. 86. P. 507–527.
     
  30. Chinburg T., Friedman E., Jones K. J., Reid A. W. The arithmetic hyperbolic 3-manifold of smallest volume // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 2001. V. 30, N 4. P. 1–40.
     
  31. Gabai D., Meyerhoff R., Milley P. Minimal volume cusped hyperbolic three-manifolds // J. Am. Math. Soc. 2009. V. 22. P. 1157–1215.
     
  32. Gehring F. W., Martin G. J. Minimal co-volume hyperbolic lattices. I. The spherical points of a Kleinian group // Ann. Math. 2009. V. 170, N 1. P. 123–161.
     
  33. Marshall T., Martin G. J. Minimal covolume lattices II // Annals of Math. 2012. V. 176. P. 261–301.
     
  34. Meyerhoff R. The cusped hyperbolic 3-orbifold of minimum volume // Bull. Am. Math. Soc. 1985. V. 13, N 2. P. 154–156.
     
  35. Antolin-Camarena O., Maloney G. R., Roeder R. K. W. Computing arithmetic invariants for hyperbolic reflection groups // Complex dynamics. Wellesley, MA: A K Peters, 2009. P. 597–631.
     
  36. Bogachev N., Douba S. Geometric and arithmetic properties of Löbell polyhedra // Algebr. Geom. Topol. 2025. V. 25, N 4. P. 2281–2295.
     
  37. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Мат. сб. 1970. Т. 83, № 2. С. 256–260.
     
  38. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского // Мат. сб. 1970. Т. 81, № 3. С. 456–478.
     
  39. Roeder R. K. W., Hubbard J. H., Dunbar W. D. Andreev’s theorem on hyperbolic polyhedra // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 2007. V. 57. P. 825–882.
     
  40. Atkinson C. Volume estimates for equiangular hyperbolic Coxeter polyhedra // Algebraic & Geometric Topology. 2009. V. 9. P. 1225–1254.
     
  41. Kellerhals R. On the volume of hyperbolic polyhedra // Math. Ann. 1989. V. 285. P. 541–569.
     
  42. Погорелов А. В. О правильном разбиении пространства Лобачевского // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 1. С. 3–8.
     
  43. Веснин А. Ю. Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия // Успехи мат. наук. 2017. Т. 72, № 2. С. 147–190.
     
  44. Inoue T. Organizing volumes of right-angled hyperbolic polyhedra // Algebraic & Geometric Topology. 2008. V. 8. P. 1523–1565.
     
  45. Веснин А. Ю. Объемы трехмерных многообразий Лебелля // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 1. С. 17–23.
     
  46. Matveev S., Pertonio C., Vesnin A. Two-sided asymptotic bounds for the complexity of some closed hyperbolic three-manifolds // J. Aust. Math. Soc. 2009. V. 86. P. 205–219.
     
  47. Inoue T. Exploring the list of smallest right-angled hyperbolic polyhedra // Experimental Mathematics. 2022. V. 31, N 1. P. 165–183.
     
  48. Heard D. Orb. A computer program for creating and studying 3-orbifolds. Available at http://www.ms.unimelb.edu.au/ snap/orb.html.
     
  49. Egorov A., Vesnin A. Volume estimates for right-angled hyperbolic polyhedra // Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste. 2020. V. 52. P. 565–576.
     
  50. Александров С. А., Богачев Н. В., Веснин А. Ю., Егоров А. А. Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 2. С. 3–22.
     
  51. Kolpakov A. On the optimality of the ideal right-angled 24-cell // Algebraic & Geometric Topology. 2012. V. 12. P. 1941–1960.
     
  52. Thurston W. P. The geometry and topology of 3-manifolds. Princeton, NJ: Princeton Univ. Notes, 1980.
     
  53. Nonaka J. The number of cusps of right-angled polyhedra in hyperbolic spaces // Tokyo J. Math. 2015. V. 38, N 2. P. 539–560.
     
  54. Веснин А. Ю. Трехмерные гиперболические многообразия с общим фундаментальным многогранником // Мат. заметки. 1991. Т. 49, № 6. С. 29–32.
     
  55. Kellerhals R. A polyhedral approach to the arithmetic and geometry of hyperbolic link complements // J. Knot Theory and Its Ramifications. 2023. V. 32. 2350052 (24 pp.).
     
  56. Drewitz S. T., Kellerhals R. The non-arithmetic cusped hyperbolic 3-orbifold of minimal volume // Trans. Am. Math. 2023. V. 376. P. 3819–3866.
     
  57. Веснин А. Ю., Егоров А. А. Идеальные прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского // Чебышевский сб. 2020. Т. 21, № 2. С. 65–83.

Работа выполнена в рамках госзадания ИМ СО РАН: А. Ю. Веснин поддержан проектом No. FWNF-2022-0004, А. А. Егоров поддержан проектом No. FWNF-2022-0017.

Веснин Андрей Юрьевич (ORCID 0000-00001-7553-1269)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: vesnin@math.nsc.ru 

Егоров Андрей Александрович (ORCID 0009-0007-8795-8148)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: a.egorov2@g.nsu.ru  

Статья поступила 4 августа 2025 г.
После доработки — 4 августа 2025 г.
Принята к публикации 11 сентября 2025 г.