Обобщенные поля Бельтрами. Точные решения

Обобщенные поля Бельтрами. Точные решения

Нещадим М. В.
Сибирский математический журнал, 66, 5, 929-936 (2025)
Скачать статью

УДК 517.9 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.513

Аннотация:

Изучаются обобщенные поля Бельтрами, которые определяются как решение системы $rot^n$ $A = \lambda A$, где $\lambda$ — функция и $A = (P, Q, R)$ — вектор-функция переменных $(x, y, z), n \in \mathbb {N}$. Для $\lambda = 1$ и произвольного натурального $n$ система приводится к вполне интегрируемому виду, причем результат зависит от четности числа $n$. Для $n = 1$ и произвольной функции $\lambda$ система также приведена к вполне интегрируемому виду.

Литература:
  1. Аминов Ю. А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.
     
  2. Арнольд В. И., Хесин Б. А. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО, 2020.
     
  3. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн: Метод эталонных задач. М.: Наука, 1972.
     
  4. Shi Changchun, Huang Yongnian. Some properties of three-dimensional Beltrami flows // Acta Mechanica Sinica. 1991. V. 7, N 4. P. 289–294.
     
  5. Clelland J. N., Klotz T. Beltrami fields with nonconstant proportionality factor // Arch. Ration. Mech. Anal. 2020. V. 236, N 1. P. 767–800.
     
  6. Enciso A., Luca R., Peralta-Salas D. Vortex reconnection in the three dimensional Navier– Stokes equations // Adv. Math. 2017. V. 309. P. 452–486.
     
  7. Enciso A., Peralta-Salas D. Beltrami fields with a nonconstant proportionality factor are rare // Arch. Ration. Mech. Anal. 2016. V. 220, N 1. P. 243–260.
     
  8. Sato N., Yamada M. Local representation and construction of Beltrami fields // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2019. V. 391. P. 8–16.
     
  9. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М.: ГИИТЛ, 1948.
     
  10. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983.
     
  11. Аниконов Ю. Е., Аюпова Н. Б., Бардаков В. Г., Голубятников В. П., Нещадим М. В. Обратимость отображений и обратные задачи // Сиб. электрон. мат. изв. 2012. Т. 9. С. 382–432.
     
  12. Аниконов Ю. Е. Конструктивные методы исследования обратных задач для эволюционных уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т. 11, № 2. С. 3–20.
     
  13. Аниконов Ю. Е., Нещадим М. В. Алгебро-аналитические способы построения решений дифференциальных уравнений // Вестник НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2015. Т. 15, № 2. С. 3–21.
     
  14. Нещадим М. В. Функционально инвариантные решения системы Максвелла // Сиб. журн. индустр. математики. 2017. Т. 20, № 1. С. 66–74.
     
  15. Громека И. С. Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости (докторская диссертация). Отд. изд. Казань, Казань, 1881. (Уч. зап. Казанского ун-та. 1882, кн. III).
     
  16. Beltrami E. Considerations on hydrodynamics // Int. J. Fusion Energy. 1985. V. 3, N 3. P. 53–57.
     
  17. Васильев О. Ф. Основы механики винтовых и циркуляционных течений. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1958.
     
  18. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
     
  19. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.
     
  20. Бочаров А. В., Вербовецкий А. М., Дужин С. В., Самохин А. В., Торхов Ю. Н., Хорькова Н. Г., Четвериков В. Н. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. М.: Факториал, 1997.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № I.1.5.(проект FWNF-2022-0009).

Нещадим Михаил Владимирович (ORCID 0000-0002-9463-7496)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: neshch@math.nsc.ru

Статья поступила 25 января 2025 г.
После доработки — 12 марта 2025 г.
Принята к публикации 25 апреля 2025 г.