Равномерная и абсолютная сходимость ряда Фурье по полиномам Эрмита — Соболева

Равномерная и абсолютная сходимость ряда Фурье по полиномам Эрмита — Соболева

Гаджимирзаев Р. М.
Сибирский математический журнал, 66, 5, 828-837 (2025)
Скачать статью

УДК 517.521.2 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.505

Аннотация:

Рассмотрена система полиномов, ортонормированная относительно скалярного произведения типа Соболева и ассоциированная с классическими полиномами Эрмита. Показано, что для функций из весового пространства Соболева ряд Фурье по этой системе сходится равномерно на отрезке при условии, что параметр p не меньше двух. Для случаев, когда p меньше двух, построен пример функции, ряд Фурье которой расходится в заданной точке. Также исследован вопрос абсолютной сходимости на отрезке ряда Фурье по указанной системе полиномов.

Литература:
  1. Шарапудинов И. И., Гаджиева З. Д., Гаджимирзаев Р. М. Системы функций, ортогональных относительно скалярных произведений типа Соболева с дискретными массами, порожденных классическими ортогональными системами // Дагестанские электрон. мат. изв. 2016. № 6. С. 31–60.
     
  2. Sultanakhmedov M. S. Recurrence relations for Sobolev orthogonal polynomials // Пробл. анализа. 2020. V. 9, N 2. P. 97–118.
     
  3. Álvarez de Morales M., Moreno-Balcázar J. J., Pérez T. E., et al. Nondiagonal Hermite–Sobolev orthogonal polynomials // Acta Appl. Math. 2000. V. 61, N 1–3. P. 257–266.
     
  4. Alfaro M., Moreno-Balcázar J. J., Pérez T. E. et al. Asymptotics of Sobolev orthogonal polynomials for Hermite coherent pairs // J. Comput. Appl. Math. 2001. V. 133, N 1–2. P. 141–150.
     
  5. De Bruin M. G., Groenevelt W.G. M., Meijer H. G. Zeros of Sobolev orthogonal polynomials of Hermite type // Appl. Math. Comput. 2002. V. 132, N 1. P. 135–166.
     
  6. Castano-García L., Moreno-Balcazar J. J. A Mehler–Heine-type formula for Hermite–Sobolev orthogonal polynomials // J. Comput. Appl. Math. 2003. V. 150, N 1. P. 25–35.
     
  7. Ruiz H. D., Marcellán F., Molano A. Asymptotics of Sobolev orthogonal polynomials for Hermite (1, 1)-coherent pairs // J. Math. Anal. Appl. 2018. V. 467, N 1. P. 601–621.
     
  8. Liu Y., Yu X.-H., Wang Z.-Q., Li H.-Y. Hermite–Sobolev orthogonal functions and spectral methods for second- and fourth-order problems on unbounded domains // Intern. J. Comput. Math. 2019. V. 96, N 5. P. 950–970.
     
  9. Marcellán F., Osilenker B. P., Rocha I. A. On Fourier series of a discrete Jacobi–Sobolev inner product // J. Approx. Theory. 2002. V. 117, N 1. P. 1–22.
     
  10. Шарапудинов И. И., Магомед-Касумов М. Г. О представлении решения задачи Коши рядом Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву, порожденным многочленами Лагерра // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 1. С. 51–68.
     
  11. Гаджимирзаев Р. М. О равномерной сходимости ряда Фурье по системе полиномов, порожденной системой полиномов Лагерра // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, № 4. С. 416–423.
     
  12. Шарапудинов И. И. Ортогональные по Соболеву системы функций и некоторые их приложения // Успехи мат. наук. 2019. Т. 74, № 4. С. 87–164.
     
  13. Ciaurri Ó., Mínguez J. Fourier series of Jacobi–Sobolev polynomials // Integral Transf. Spec. Funct. 2019. V. 30, N 4. P. 334–346.
     
  14. Осиленкер Б. П. О мультипликаторах рядов Фурье по ортогональным многочленам Соболева // Мат. сб. 2022. Т. 213, № 8. С. 44–82.
     
  15. Шарапудинов И. И. Системы функций, ортогональные по Соболеву, ассоциированные с ортогональной системой // Изв. РАН. Сер. мат. 2018. Т. 82, № 1. С. 225–258.
     
  16. Diáz-González A., Marcellán F., Pijeira-Cabrera H., et al. Discrete–continuous Jacobi–Sobolev spaces and Fourier series // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 2021. V. 44. P. 571–598.
     
  17. Магомед-Касумов М. Г. Равномерная сходимость рядов Фурье по системе полиномов, ортогональной в смысле Соболева и ассоциированной с полиномами Якоби // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 2. С. 339–349.
     
  18. Магомед-Касумов М. Г. Равномерная сходимость рядов Фурье по системе полиномов, ортогональной в смысле Соболева и ассоциированной с ультрасферическими полиномами Якоби // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 6. С. 1173–1190.
     
  19. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.
     
  20. Pollard H. The mean convergence of orthogonal series. II // Trans. Am. Math. Soc. 1948. V. 63, N 2. P. 355–367.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда и Правительства Республики Дагестан (проект № 25-21-20043).

Гаджимирзаев Рамис Махмудович (ORCID 0000-0002-6686-881X)
  1. Дагестанский федеральный исследовательский центр РАН, 
    ул. М. Гаджиева, 45, Махачкала 367032

E-mail: ramis3004@gmail.com

Статья поступила 19 июня 2025 г.
После доработки — 23 июля 2025 г.
Принята к публикации 27 июля 2025 г.