Система уравнений с оператором Монжа — Ампера и ее многомерные точные решения

Система уравнений с оператором Монжа — Ампера и ее многомерные точные решения

Косов А. А., Семенов Э. И.
Сибирский математический журнал, 66, 4, 669-682 (2025)
Скачать статью

УДК 517.957 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.409

Аннотация:

Рассматриваются системы двух уравнений с оператором Монжа — Ампера, правые части которых могут зависеть от оператора Лапласа и градиента искомых функций. Для построения точных многомерных решений в случае, когда правые части содержат степенные или экспоненциальные функции неизвестных, предложен вариант метода редукции к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены многомерные точные решения, выражаемые явным образом через суперпозицию квадратичных форм от пространственных переменных и элементарных функций. Приводится целый ряд примеров явных точных решений, в том числе глобальных положительных, анизотропных по пространственным переменным.

Литература:
  1. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных решениях многомерного обобщенного уравнения Монжа — Ампера // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 10. С. 1334–1349.
     
  2. Монж Г. Приложение анализа к геометрии (пер. с фр. Monge G. Feuilles d’analyse appliquée à la géométrie. Paris. 1795). М.-Л.: ОНТИ, 1936.
     
  3. Ampère A. Application de la théorie sur les intégrales des équations aux différentielles partielles du premier et second ordre. Paris: J. de l’Ecole Polytechnique, 1820.
     
  4. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.
     
  5. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.
     
  6. Мелешко С. В., Пухначев В. В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье — Стокса // Прикл. математика и техн. физика. 1999. Т. 40, № 2. С. 24–33.
     
  7. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of nonlinear partial differential equations. Second edition. Boca Raton: CRC Press, 2012.
     
  8. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Часть 2. Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 2023.
     
  9. Аксенов А. В., Полянин А. Д. Групповой анализ, редукции и точные решения уравнения Монжа — Ампера // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 6. С. 750–763.
     
  10. Polyanin A. D., Aksenov A. V. Unsteady magnetohydrodynamics PDE of Monge–Ampère type: Symmetries, closed-form solutions, and reductions // Mathematics. 2024. V. 12. N 2127.
     
  11. Aksenov A. V., Polyanin A. D. Symmetries, reductions and exact solutions of nonstationary Monge–Ampère type equations // Mathematics. 2025. V. 13. N 525.
     
  12. Кушнер А. Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа — Ампера и инварианты Лапласа // Докл. АН. 2008. Т. 422, № 5. С. 597–600.
     
  13. Кушнер А. Г. Приведение гиперболических уравнений Монжа — Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами // Докл. АН. 2008. Т. 423, № 5. С. 609–611.
     
  14. Фущич В. И., Серов Н. И. Симметрия и некоторые точные решения многомерного уравнения Монжа — Ампера // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 3. С. 543–546.
     
  15. Фущич В. И., Штелень В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наук. думка, 1989.
     
  16. Leibov O. S. Reduction and exact solutions of the Monge–Ampère equation // Nonlinear Math. Phys. 1989. V. 4, N 1, 2. P. 146–148.
     
  17. Погорелов А. В. Многомерное уравнение Монжа — Ампера. М.: Наука, 1988.
     
  18. Trudinger N. S., Wang X. J. The Monge–Ampère equation and its geometric applications // Handbook of geometric analysis. Somerville: International, 2008. V. 1. P. 467–524. (Adv. Lect. Math.; V. 7).
     
  19. Calabi E. Improper affine hyperspheres of convex type and generalization of a theorem by K. Jörgens // Michigan Math. J. 1958. V. 5, N 2. P. 105–126.
     
  20. Погорелов А.В. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука, 1975.
     
  21. Борисенко А. А, Веснин А. Ю., Ивочкина Н. М. К столетию со дня рождения Алексея Васильевича Погорелова // Успехи мат. наук. 2019. Т. 74, № 6. С. 171–193.
     
  22. Ambrosio L., Baradat A., Brenier Y. Monge–Ampère gravity, as a $\Gamma$-limit of good rate functions // Anal. PDE. 2023. V. 16, N 9. P. 2005–2040.
     
  23. Bonnefous A., Brenier Y., Mohayaee R. Monge–Ampère gravity, optimal transport theory and their link to the Galileons. arXiv:2405.15035v2 [gr-qc]. 31 Oct 2024.
     
  24. Ma X. N., Trudinger N. S., Wang X. J. Regularity of potential functions of the optimal transportation problem // Arch. Ration. Mech. Anal. 2005. V. 177. P. 151–183.
     
  25. Trudinger N. S., Wang X. J. On the second boundary value problem for Monge–Ampère type equations and optimal transportation // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 2009. V. 8, N 1. P. 143–174.
     
  26. Guido De Philippis, Alessio Figalli. The Monge–Ampère equation and its link to optimal transportation. arXiv:1310.6167v1 [math.AP]. 23 Oct 2013.
     
  27. Косов А. А., Семенов Э. И. Новые точные решения уравнения диффузии со степенной нелинейностью // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 6. С. 1282–1299.
     
  28. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных решениях многомерной системы эллиптических уравнений со степенными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59, № 12. С. 1619–1640.
     
  29. Рахмелевич И. В. Система двумерных уравнений Монжа — Ампера: редукции и точные решения // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, № 4. С. 121–136.
     
  30. Жабборов Н. М., Коробов П. В., Имомназаров Х. Х. Применение дифференциальных тождеств Меграбова к уравнениям двухскоростной гидродинамики с одним давлением // Журн. СФУ. Сер. Математика и физика. 2019. Т. 5, № 2. С. 156–163.
     
  31. Аминов Ю. А. Существование полиномиальных решений уравнения Монжа — Ампера 4-й степени. Сильный изгиб тонкой пластинки // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 8. С. 3–17.
     
  32. Бакельман И. Я., Красносельский М. А. Нетривиальные решения задачи Дирихле для уравнений с оператором Монжа — Ампера // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, № 5. С. 1007– 1010.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проекты № 121041300058-1 и № 121032400051-9).

Косов Александр Аркадьевич (ORCID 0000-0003-1352-1828)
  1. Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, Иркутск 664033

E-mail: kosov_idstu@mail.ru

Семенов Эдуард Иванович (ORCID 0000-0002-9768-9945)
  1. Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, Иркутск 664033

E-mail: edwseiz@gmail.com

Статья поступила 2 марта 2025 г.
После доработки — 17 апреля 2025 г.
Принята к публикации 25 апреля 2025 г.