Асимптотика решений уравнения Штурма — Лиувилля вдоль произвольной кривой в окрестности симметричной особой точки
Асимптотика решений уравнения Штурма — Лиувилля вдоль произвольной кривой в окрестности симметричной особой точки
Аннотация:
Пусть $G$ — выпуклая область, в которой имеется ровно одна особая точка $z_s$ аналитической функции $Q$, симметричной относительно этой точки. В работе при больших значениях модуля спектрального параметра $\rho$ изучена асимптотика передаточной матрицы $P$ уравнения Штурма — Лиувилля с потенциалом $Q$ вдоль произвольной кривой, лежащей в области $G$ и не проходящей через точку $z_s$. Сформулированы необходимые и достаточные условия того, что матрица $P$ не зависит от параметра $\rho$, и найден ее вид во всех таких случаях. Доказано, что в остальных случаях все элементы передаточной матрицы являются целыми функциями $\rho$ вполне регулярного роста порядка 1/2 с одинаковыми кусочно тригонометрическим индикатором и угловой плотностью нулей, формулы для трех возможных типов которых получены в работе.
Литература:
- Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
- Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.
- Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956.
- Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.
- Ишкин Х. К. О критерии безмонодромности уравнения Штурма — Лиувилля // Мат. заметки. 2013. Т. 94, № 4. С. 552–568.
- Ишкин Х. К. Критерий локализации спектра оператора Штурма — Лиувилля на кривой // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 1. С. 52–88.
- Ишкин Х. К., Давлетова Л. Г. Регуляризованный след оператора Штурма — Лиувилля на кривой с регулярной особенностью на хорде // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, № 10. С. 1291–1303.
- Ishkin K. K., Rezbayev A. V. On the Davies formula for the distribution of eigenvalues of a non-self-adjoint differential operator // J. Math. Sci. 2021. V. 252. P. 374–383.
- Ishkin K. K., Marvanov R. On the class of potentials with trivial monodromy // Lobachevskii J. Math. 2021. V. 42, N 6. P. 1166–1174.
- Голубков А. А. Регулярная циклическая матрица изолированной особой точки уравнения Штурма — Лиувилля стандартного вида // Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения–XXX». Воронеж, 3–9 мая 2019 г. Часть 4. Итоги науки и техники. Серия Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ РАН, 2024. Т. 233. С. 3–13.
- Голубков А. А. Краевая задача для уравнения Штурма — Лиувилля с кусочно-целым потенциалом на кривой и условиями разрыва решений // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 1005–1027.
- Голубков А. А. Квазибезмонодромные особые точки уравнения Штурма — Лиувилля стандартного вида на комплексной плоскости // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58, № 8. С. 1032–1038.
- Golubkov A. A. Inverse problem for the Sturm — Liouville equation with piecewise entire potential and piecewise constant weight on the curve // Sib. Electron. Math. Rep. 2021. V. 18. P. 951–974.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.
- Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1957.
Голубков Андрей Александрович (ORCID 0000-0002-5265-1310)
- Специализированный учебно-научный центр МГУ имени М. В. Ломоносова,
ул. Кременчугская, 11, Москва 121352
E-mail: andrej2501@yandex.ru
Статья поступила 5 февраля 2025 г.
После доработки — 18 февраля 2025 г.
Принята к публикации 25 апреля 2025 г.