Новые свойства операторов композиции в пространствах Соболева на римановых многообразиях

Новые свойства операторов композиции в пространствах Соболева на римановых многообразиях

Водопьянов С. К.
Сибирский математический журнал, 66, 4, 596-612 (2025)
Скачать статью

УДК 517.518:517.54 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.404

Аннотация:

Получены эквивалентное описание гомеоморфизмов $\varphi$ области $\Omega$ в римановом пространстве $\mathbb{M}$ на метрическое пространство $\mathbb{Y}$, гарантирующее ограниченность оператора композиции из пространства липшицевых функций $Lip(\mathbb{Y})$ в однородное пространство Соболева на $\mathbb{M}$ с первыми обобщенными производными, суммируемыми в степени $1 \le q \le \infty$, и другие новые свойства таких гомеоморфизмов. Новый подход позволяет эффективно доказать теорему о гомеоморфизмах областей в произвольном римановом пространстве $\mathbb{M}$, индуцирующих ограниченный оператор композиции пространств Соболева с первыми обобщенными производными. Новое доказательство, значительно более короткое сравнительно с первоначальным, базируется на минимальном наборе средств и позволяет получить новые свойства гомеоморфизмов в исследуемом вопросе.

Литература:
  1. Водопьянов С К. Формула Тейлора и функциональные пространства. Новосибирск: НГУ, 1988.
     
  2. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Пространства Cоболева и ($P, Q$)-квазиконформные отображения групп Карно // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 4. С. 776–795.
     
  3. Водопьянов С. К., Томилов А. О. Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа на группах Карно // Изв. РАН. Сер. мат. 2021. Т. 85, № 5. С. 58–109.
     
  4. Водопьянов С. К., Евсеев Н. А. Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 2. С. 283–315.
     
  5. Водопьянов С. К. О совпадении функций множества в квазиконформном анализе // Мат. сб. 2022. Т. 213, № 9. С. 3–33.
     
  6. Pavlov S. V., Vodop’yanov S. K. Reshetnyak-class mappings and composition operators // Anal. Math. Physic. 2025. V. 15.
     
  7. Водопьянов С. К. Операторы композиции в пространствах Соболева на римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 6. С. 1128–1154.
     
  8. Cheeger J., Gromov M., Taylor M. Finite propagation speed, kernel estimates for functions of the Laplace operator, and the geometry of complete Riemannian manifolds // J. Differ. Geom. 1982. V. 17, N 1. P. 15–53.
     
  9. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 657–675.
     
  10. Водопьянов С. К. О регулярности отображений, обратных к соболевским // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 10. С. 3–32.
     
  11. Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
     
  12. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
     
  13. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Functional analysis. Oxford, etc.: Pergamon Press, 1982.
     
  14. Vodop′yanov S. K. $\mathscr{P}$-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry. Novosibirsk: Sobolev Institute Press, 2000. P. 603–670.
     
  15. Troyanov M., Vodop′yanov S. Liouville type theorems for mappings with bounded (co-)distortion // Ann. l′ Inst. Fourier. 1998. V. 52, N 6. P. 1753–1784.
     
  16. Vodop′yanov S. Geometry of Carnot–Carathéodory spaces and differentiability of mappings // Contemp. Math. 2007. V. 424. P. 247–302.
     
  17. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. М.: Мир, 1990.
     
  18. Federer H. Geometric measure theory. New York: Springer-Verl., 1960.
     
  19. Evans L. C., Gariepy R. F. Measure theory and fine properties of functions. Boca Raton; London; New York; Washington, D.C.: CRC Press, 1992.
     
  20. Hajłasz P. Change of variables formula under the minimal assumptions // Colloq. Math. 1993. V. 64, N 1. P. 93–101.
     
  21. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева. I // Мат. тр. 2003. Т. 6, № 2. С. 14–65.
     
  22. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.
     
  23. Водопьянов С. К. Отображения с ограниченным искажением и с конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. С. 764–804.

Работа подготовлена в рамках выполнения государственного задания Министерства образования и науки РФ для Института математики Сибирского отделения Российской академии наук (проект No FWNF-2022-0006).

Водопьянов Сергей Константинович (ORCID 0000-0003-1238-4956)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: vodopis@math.nsc.ru

Статья поступила 4 апреля 2025 г.
После доработки — 24 мая 2025 г.
Принята к публикации 26 мая 2025 г.