Вычисление 6j-символов для алгебры Ли gln

Вычисление 6$j$-символов для алгебры Ли $\mathfrak{g}\mathfrak{l}_n$

Артамонов Д. В.
Сибирский математический журнал, 66, 4, 551-569 (2025)
Скачать статью

УДК 512.815.1 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.401

Аннотация:

Находится явное описание линейных порождающих пространства кратности, которое описывает вхождения определенного неприводимого представления в разложение тензорного произведения двух неприводимых конечномерных представлений алгебры Ли всех матриц заданного размера. С использованием полученного описания находится явная формула для произвольного 6$j$-символа для конечномерных представлений рассматриваемой алгебры Ли. Его значение выражается через значение обобщенной гипергеометрической функции.

Литература:
  1. Kumar S. Tensor product decomposition // Proc. Intern. Congress of Mathematicians. Hyderabad. India, 2010. 
     
  2. Knutson A., Tao T. The honeycomb model of $GL_{n}(C)$ tensor products I: Proof of the saturation conjecture // J. Am. Math. Soc. 1999. V. 12, N 4. P. 1055–1090.
     
  3. Manon C., Zhou Z. Semigroups of $sl_{2}(C)$ tensor product invariants // J. Algebra. 2014. V. 400. P. 94–104.
     
  4. Кириллов А. Н., Решетихин Н. Ю. Формулы для кратностей вхождения неприводимых компонент в тензорное произведение представлений простых алгебр Ли // Зап. науч. сем. ПОМИ. Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. 13. СПб.: Наука, 1993. Т. 205. С. 30–37.
     
  5.  Артамонов Д. В. Формулы вычисления 3$j$-символов для представлений алгебры Ли $\mathfrak{g}\mathfrak{l}_3$ в базисе Гельфанда — Цетлина // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 4. С. 717–735.
     
  6. Артамонов Д. В. Классические 6$j$-символы конечномерных представлений алгебры $\mathfrak{g}\mathfrak{l}_3$ // Теорет. и мат. физика. 2023. Т. 216, № 1. С. 3–19.
     
  7. Артамонов Д. В. Коэффициенты Клебша — Гордана для $\mathfrak{g}\mathfrak{l}_3$ и гипергеометрические функции // Алгебра и анализ. 2021. Т. 33, № 1. С. 1–29.
     
  8. Artamonov D. V. A functional realization of the Gelfand–Tsetlin base // Изв. РАН. Сер. мат. 2023. V. 87, N 6. P. 3–34.
     
  9. Слепцов А. В. Симметрии квантовых инвариантов узлов и квантовых 6$j$-символов: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М.: Институт теоретической и экспериментальной физики имени А. И. Алиханова Национального исследовательского центра «Курчатовский институт», 2022.
     
  10. Butler P., Wybourne B. Calculation of $j$ and $jm$ symbols for arbitrary compact groups. I. Methodology // Intern. J. Quantum Chemistry. 1976. V. 10, N 4. P. 581–598.
     
  11. Hecht K. A simple class of $U(N)$ Racah coefficients and their application // Commun. Math. Phys. 1975. V. 41, N 2. P. 135–156.
     
  12. Gustafson R. A Whipple′ s transformation for hypergeometric series in $U(N)$ and multivariable hypergeometric orthogonal polynomials // SIAM J. Math. Anal. 1987. V. 18, N 2. P. 495–530.
     
  13. Wong M. On the multiplicity-free Wigner and Racah coefficients of $U(n)$ // J. Math. Phys. 1979. V. 20, N 12. P. 2391–2397.
     
  14. Biedenharn L. C., Louck J. D. Canonical unit adjoint tensor operators in $U(n)$ // J. Math. Phys. 1970. V. 11, N 8. P. 2368–2411.
     
  15. Biedenharn L. C., Louck J. D., Chacon E., Ciftan M. On the structure of the canonical tensor operators in the unitary groups. I. An extension of the pattern calculus rules and the canonical splitting in $U(3)$ // J. Math. Phys. 1972. V. 13, N 12. P. 1957–1984.
     
  16. Steinberg R. A general Clebsch–Gordan theorem // Bull. Am. Math. Soc. 1961. V. 67, N 4. P. 406–407.
     
  17. Koike K. On the decomposition of tensor products of the representations of the classical groups: By means of the universal characters // Adv. Math. 1989. V. 74, N 1. P. 5–86.
     
  18. King R. C. Branching rules for classical Lie groups using tensor and spinor methods // J. Physics A: Mathematical and General. 1975. V. 8, N 4. P. 429–449.
     
  19. Girardi G., Sciarrino A., Sorba P. Kronecker products for $SO(2p)$ representations // J. Physics A: Mathematical and General. 1982. V. 15, N 4. P. 1119.
     
  20. Girardi G., Sciarrino A., Sorba P. Kronecker product of $Sp(2n)$ representations using generalised Young tableaux // J. Physics A: Mathematical and General. 1983. V. 16, N 12. P. 2609.
     
  21. Alisauskas S. Integrals involving triplets of Jacobi and Gegenbauer polynomials and some 3$j$-symbols of $SO(n)$, $SU(n)$ and $Sp(4)$. 2005. 28 p. arXiv math-ph/0509035.
     
  22. Klimyk A. U. Infinitesimal operators for representations of complex Lie groups and Clebsch–Gordan coefficients for compact groups // J. Physics A: Mathematical and General. 1982. V. 15, N 10. P. 3009.
     
  23. Alisauskas S. 6$j$-symbols for symmetric representations of $SO(n)$ as the double series // J. Physics A: Mathematical and General. 2002. V. 35, N 48. P. 10229.
     
  24. Alisauskas S. Some coupling and recoupling coefficients for symmetric representations of $SO_n$ // J. Physics A: Mathematical and General. 1987. V. 20, N 1. P. 35.
     
  25. Alisauskas S. Coupling coefficients of $SO(n)$ and integrals over triplets of Jacobi and Gegenbauer polynomials. 2002. 26 p. arXiv math-ph/0509035.
     
  26. Junker G. Explicit evaluation of coupling coefficients for the most degenerate representations of $SO(n)$ // J. Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26, N 7. P. 1649.
     
  27. Hormess M., Junker G. More on coupling coefficients for the most degenerate representations of $SO(n)$ // J. Physics A: Mathematical and General. 1999. V. 32, N 23. P. 4249.
     
  28. Cvitanovic P., Kennedy A. D. Spinors in negative dimensions // Physica Scripta. 1982. V. 26, N 1. P. 5–14.
     
  29. Cerkaski M. On a class of 6$j$ coefficients with one multiplicity index for groups $SP(2N)$, $SO(2N)$, and $SO(2N + 1)$ // J. Math. Phys. 1987. V. 28, N 3. P. 612–617.
     
  30. Judd B. R., Lister G. M. S., Suskin M. A. Some 6$j$ symbols for symplectic and orthogonal groups by Cerkaski’s method // J. Physics A: Mathematical and General. 1990. V. 23, N 24. P. 5707.
     
  31. Feger R., Kephart T. W. LieART–A Mathematica application for Lie algebras and representation theory // Comput. Physics Commun. 2015. V. 192, N 24. P. 166–195.
     
  32. Желобенко Д. П. Компактные групп Ли и их представления. М.: МЦНМО, 2007.
     
  33. Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М.: Изд-во иностр. лит., 1947.
Артамонов Дмитрий Вячеславович (ORCID 0000-0001-5921-1513)
  1. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, 
    3-й новый учебный корпус, экономический факультет, кафедра ММАЭ, 
    Ленинские горы, Москва 119991, ГСП-1

E-mail: artamonovdv@my.msu.ru

Статья поступила 28 декабря 2023 г.
После доработки — 15 апреля 2025 г.
Принята к публикации 25 апреля 2025 г.