Топологическая версия олигоморфности групп

Топологическая версия олигоморфности групп

Сорин Б. В.
Сибирский математический журнал, 66, 3, 554-568 (2025)
Скачать статью

УДК 512.54.03+515.122.4+515.123.4+512.562 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.315

Аннотация:

При действии группы на множестве топология множества определяет допустимые групповые топологии на группе, в которых группа становится топологической, а действие непрерывным (и даже позволяет получать равномерности на множестве, на пополнения по которым действие непрерывно продолжается). Данный подход, использующий дискретную топологию на множестве и перестановочную топологию на группе, позволяет найти связи между олигоморфностью действия группы на множестве, вполне ограниченностью максимальной эквиравномерности на множестве и Roelcke-предкомпактностью группы.

Если множество простое линейно упорядоченное, то его ультраоднородность эквивалентна олигоморфности действия группы его автоморфизмов на нем и эквивалентна Roelcke-предкомпактности самой группы автоморфизмов этого множества как в перестановочной топологии, так и в топологии поточечной сходимости.

Литература:
  1. Cameron P. J. Oligomorphic permutation groups. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1990. (London Math. Soc. Lecture Note Ser.; V. 152).
     
  2. Glass A. M. W. Ordered permutations groups. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1981. (London Math. Soc. Lecture Note Ser.; V. 55).
     
  3. Holland C. Transitive lattice-ordered permutations groups // Math. Z. 1965. V. 87. P. 420–433.
     
  4. Pestov V. Topological groups: Where to from here? // Topol. Proc. 1999. V. 24, N (Summer). P. 421–506.
     
  5. Rosendal C. A topological version of the Bergman property // Forum Math. 2009. V. 21, N 2. P. 299–332.
     
  6. Tsankov T. Unitary representations of oligomorphic groups // Geometric and Funct. Anal. 2012. V. 22, N 2. P. 528–555.
     
  7. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
     
  8. Roelcke W., Dierolf S. Uniform structures on topological groups and their quotients. USA: McGraw-Hill Inc., 1981.
     
  9. Glasner E. Megrelishvili M. Circular orders, ultra-homogeneous order structures and their automorphism groups in topology, geometry and dynamics: V. A. Rokhlin–Memorial. Ed.: A. M. Vershik, V. M. Buchstaber, A. V. Malyutin // Contemp. Math. 2021. V. 772. P. 133–154.
     
  10. Райков Д. А. О пополнении топологических групп // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1946. Т. 10, № 6. С. 513–528. 
     
  11. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.
     
  12. Гуран И. Топологические группы и свойства их подпространств: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1981. 
     
  13. Борубаев А. А. Равномерная топология. Бишкек: Макспринт, 2013.
     
  14. Arens R. Topologies for homeomorphism groups // Am. J. Math. 1946. V. 68, N 4. P. 593–610.
     
  15. Kozlov K. L. Uniform equicontinuity and groups of homeomorphisms // Topol. Appl. 2022. V. 311. 26 с.
     
  16. Megrelishvili M. Equivariant completions // Comment. Math. Univ. Carolin. 1994. V. 35, N 3. P. 539–547.
     
  17. Chatyrko V. A., Kozlov K. L. The maximal $G$-compactifications of G-spaces with special actions // Proc. 9th Prague Topol. Symp. Prague, 2001. P. 15–21.
     
  18. Rosendal C. Global and local boundedness of Polish groups // Indiana Univ. Math. J. 2013. V. 62, N 5. P. 1621–1678.
     
  19. Gaughan E. D. Topological group structures of infinite symmetric groups // Proc. Nat. Acad. Sci. 1967. V. 58, N 3. P. 907–910.
     
  20. Arhangel′skii A.V., van Mill J. Topological homogeneity // Recent Progress in General Topology III, Ed.: K. P. Hart, J. van Mill. Atlantis Press, 2014. P. 1–68.
     
  21. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
     
  22. Ovchinnikov S. Topological automorphism groups of chain // Mathware & Soft Computing. 2001. V. 8, N 1. P. 47–60.
     
  23. Сорин Б. В. Компактификации групп гомеоморфизмов линейно упорядоченных компактов // Мат. заметки. 2022. Т. 112, № 1. С. 118–137.
     
  24. Ohkuma T. Structure of homogeneous chains // Kodai Math. Sem. Rep. 1953. V. 5, N 1. P. 1–12.
     
  25. Glass A. M. W., Gurevich Yu., Holland W. C., Shelah S. Rigid homogeneous chains // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1981. V. 89, N 7. P. 7–17.
     
  26. Sorin B. V. The Roelcke precompactness and compactifications of transformations groups of discrete spaces and homogeneous chains. arXiv:2310.18570 math[GN] 28 oct. 2023.
     
  27. Lutzer D. J. On generalized ordered spaces. Dissertationes Math. 1971. 89.
Сорин Борис Владимирович
  1. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 
    механико-математический факультет, кафедра общей топологии и геометрии, 
    Ленинские горы, 1, Москва 119992

E-mail: bvs@imtprofi.ru

Статья поступила 16 мая 2024 г.
После доработки — 27 февраля 2025 г.
Принята к публикации 25 апреля 2025 г.