Емкостные граничные элементы на римановых многообразиях и обобщенные границы

Емкостные граничные элементы на римановых многообразиях и обобщенные границы

Сбоев Д. А.
Сибирский математический журнал, 66, 3, 523-553 (2025)
Скачать статью

УДК 517.54+517.518 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.314

Аннотация:

Рассматривается емкостная метрика на римановых многообразиях. С ее помощью вводятся емкостные граничные элементы и изучается граничное поведение замкнутых отображений с ограниченным искажением. Получены свойства пространств емкостных граничных элементов, изучены взаимосвязи между граничными элементами при различных показателях.

В статье исследуются также геометрические свойства обобщенной границы в областях с локально конечно связной границей в метрических пространствах. Описаны свойства метрики, при которых обобщенная граница единственна с точностью до гомеоморфизма, построены примеры таких метрик в различных областях. В областях с локально конечно связной границей на римановых многообразиях показано, что любой элемент обобщенной границы содержится в носителе некоторого емкостного граничного элемента. В качестве следствия получены результаты о взаимосвязи простых концов и емкостных граничных элементов.

Литература:
  1. Carathéodory C. Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete // Math. Ann. 1913. V. 73, N 3. P. 323–370.
     
  2. Osgood W. F., Taylor E. H. Conformal transformations on the boundaries of their regions of definitions // Trans. Am. Math. Soc. 1913. V. 14, N 2. P. 277–298.
     
  3. Schlesinger E. C. Conformal invariants and prime ends // American Journal of Mathematics. 1958. V. 80, N 1. P. 83–102.
     
  4. Водопьянов С. К. О граничном соответствии при квазиконформных отображениях пространственных областей // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 3. С. 630–633.
     
  5. Гольдштейн В. М., Водопьянов С. К. Метрическое пополнение области при помощи конформной емкости, инвариантное при квазиконформных отображениях // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 5. С. 1040–1042.
     
  6. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными // Успехи мат. наук. 1979. Т. 34, № 1. С. 17–65.
     
  7. Vodopyanov S. K., Molchanova A. O. The boundary behavior of $\mathcal{Q}_{p,q}$-homeomorphisms // Изв. РАН. Сер. мат. 2023. V. 87, N 4. P. 47–90.
     
  8. Водопьянов С. К., Павлов С. В. О граничных значениях в геометрической теории функций в областях с подвижными границами // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 3. С. 489–516.
     
  9. Adamowicz T., Björn A., Björn J., Shanmugalingam N. Prime ends for domains in metric spaces // Adv. Math. 2013. V. 238. P. 459–505.
     
  10. Эванс Л. К., Гариепи Р. Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск: Научная книга, 2002. 
     
  11. Шарафутдинов В. А. Введение в дифференциальную топологию и риманову геометрию. Новосибирск: ИПЦ НГУ, 2018.
     
  12. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб: Наука, 1994.
     
  13. Hebey E. Nonlinear analysis on manifolds: Sobolev spaces and inequalities. New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, 1999.
     
  14. Heinonen J., Kipelainen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. Mineola N.Y.: Dover Publications, 2006.
     
  15. Saloff-Coste L. Aspects of Sobolev-type inequalities. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2002.
     
  16. Adamowicz T., Shanmugalingam N. Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curve families // Ann. Fennici Math. 2010. V. 35, N 2. P. 609–626.
     
  17. Rickman S. Quasiregular mappings. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 1993.
     
  18. Кесельман В. М. О римановых многообразиях α-параболического тип // Изв. вузов. Математика. 1985. № 4. С. 81–83.
     
  19. Зорич В. А., Кесельман В. М. О конформном типе риманова многообразия // Функцион. анализ и его прил. 1996. Т. 30, № 2. С. 40–55.
     
  20. Holopainen I. Positive solutions of quasilinear elliptic equations on Riemannian manifolds // Proc. London Math. Soc. 1992. V. 3, N 3. P. 651–672.
     
  21. Björn A., Björn J., Shanmugalingam N. Classification of metric measure spaces and their ends using $p$-harmonic functions // Ann. Fennici Math. 2022. V. 47, N 2. P. 1025–1052.
     
  22. Anderson J. W. Hyperbolic geometry. London: Springer-Verl., 2005.
     
  23. Holopainen I., Pankka P. $p$-Laplace operator, quasiregular mappings and Picard-type theorems // Quasiconformal Mappings and Their Applications. New Delhi, Delhi: Narosa Publishing House, 2007. P. 117–150.
     
  24. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.
     
  25. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1969. Т. 2.
     
  26. Hausdorff F. Set theory. New York: Am. Math. Soc., 2021.
     
  27. Näkki R. Boundary behavior of quasiconformal mappings in $n$-space // Ann. Fennici Math. 1971. N 484. P. 1–50.
     
  28. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 657–675.
     
  29. Водопьянов С. К. Операторы композиции в пространствах Соболева на римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 6. С. 1128–1154.
     
  30. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987.
     
  31. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.
     
  32. Kangasniemi I. Notes on quasiregular maps between Riemannian manifolds. 2021. 70 p. arXiv:2109.01638.
     
  33. Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in $n$-space // Ann. Fennici Math. 1976. N 11. P. 1–44.
     
  34. Vuorinen M. Conformal geometry and quasiregular mappings. Bertin; Heidelberg: Springer-Verl., 1988.
     
  35. Srebro U. Conformal capacity and quasiregular mappings // Ann. Fennici Math. 1973. N 529. P. 1–8.
     
  36. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сб. 1970. Т. 83, № 2 (10). С. 261–272.
     
  37. Mostow G. D. Quasi-conformal mappings in $n$-space and the rigidity of hyperbolic space forms // Publications Mathématiques de l’IHÉS. 1968. V. 34. P. 53–104.
     
  38. Gehring F. W., Väisälä J. The coefficients of quasiconformality of domains in space // Acta Math. 1965. V. 114, N 1. P. 1–70.
     
  39. Björn A., Björn J., Shanmugalingam N. The Mazurkiewicz distance and sets that are finitely connected at the boundary // J. Geometric Anal. 2016. V. 26. P. 873–897.
     
  40. Sevost’yanov E. On boundary extension of mappings in metric spaces in the terms of prime ends // Ann. Fennici Math. 2019. V. 44, N 2. P. 65–90.

Работа подготовлена в рамках выполнения гранта РНФ, проект № 23-21-00359.

Сбоев Данил Алексеевич (ORCID 0009-0008-4027-9161)
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

E-mail: dnlsboev@gmail.com

Статья поступила 19 ноября 2024 г.
После доработки — 19 ноября 2024 г.
Принята к публикации 25 апреля 2025 г.