Деформация тонкой упругой зажатой по краю пластины с прикрепленными стержнями. 1. Статическая задача

Деформация тонкой упругой зажатой по краю пластины с прикрепленными стержнями. 1. Статическая задача

Назаров С. А.
Сибирский математический журнал, 66, 3, 481-505 (2025)
Скачать статью

УДК 517.956.8:517.956:539.3(3) 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.312

Аннотация:

Строится асимптотика напряженно-деформированного состояния закрепленной вдоль кромки тонкой горизонтальной пластины с присоединенными к ней вертикальными стержнями. Конструкция из изотропного и однородного упругого материала находится под воздействием силы тяжести. При помощи процедуры понижения размерности и анализа пограничных слоев, экспоненциального около кромки пластины и степенного около зон присоединения стержней к пластине, находятся старшие и поправочные члены асимптотики прогиба пластины и жестких смещений стержней, а также их продольная деформация. Выводится асимптотически точное анизотропное и весовое неравенство Корна, позволяющее обосновать асимптотические формулы.

Литература:
  1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
     
  2. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
     
  3. Nazarov S. A. Junction problems of bee-on-ceiling type in the theory of anisotropic elasticity // C. R. Acad. Sci. Paris. Sér. 1. 1995. V. 320, N 11. P. 1419–1424.
     
  4. Kozlov V. A., Maz′ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic representation of elastic fields in a multi-structure // Asymptot. Anal. 1995. V. 11, N 4. P. 343–415.
     
  5. Kozlov V. A., Maz′ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in multi-structures. Oxford: Clarendon Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).
     
  6. Kozlov V. A., Maz′ya V. G., Movchan A. B. Fields in non-degenerate 1D–3D elastic multi-structures // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2001. V. 54, N 2. P. 177–212.
     
  7. Назаров С. А. Асимптотический анализ и моделирование сочленения массивного тела с тонкими стержнями // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. Т. 24. С. 95–214.
     
  8. Назаров С. А. Оценки точности моделирования краевых задач на сочленении областей с различными предельными размерностями // Изв. РАН. Сер. мат. 2004. Т. 68, № 6. С. 119–156.
     
  9. Назаров С. А. Асимптотика решений спектральной задачи теории упругости для трехмерного тела с тонкой стяжкой // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 2. С. 345–364.
     
  10. Gaudiello A., Monneau R., Mossino J., Murat F., Sili A. Junction of elastic plates and beams // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2007. V. 13, N 3. P. 419–457.
     
  11. Blanchard D., Griso G. Junction between a plate and a rod of comparable thickness in nonlinear elasticity // J. Elasticity. 2013. V. 112, N 2. P. 79–109.
     
  12. Blanchard D., Griso G. Asymptotic behavior of a structure made by a plate and a straight rod // Chinese Ann. Math. Ser. B. 2013. V. 34, N 3. P. 399–434.
     
  13. Blanchard D., Gaudiello A., Griso G. Junction of a periodic family of elastic rods with a 3d plate. Part I // J. Math. Pures Appl. 2007. V. 88, N 1. P. 1–33.
     
  14. Blanchard D., Gaudiello A., Griso G. Junction of a periodic family of elastic rods with a 3d plate. Part II // J. Math. Pures Appl. 2007. V. 88, N 2. P. 149–190.
     
  15. Griso G., Merzougui L. Junctions between two plates and a family of beams // Math. Methods Appl. Sci. 2018. V. 41, N 1. P. 58–79.
     
  16. Физики продолжают шутить М.: Мир, 1968.
     
  17. Назаров С. А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей. 2 // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. Т. 20. С. 155–195.
     
  18. Bunoiu R., Cardone G., Nazarov S. A. Scalar boundary value problems on junctions of thin rods and plates. I. Asymptotic analysis and error estimates // ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 2014. V. 48, N 5. P. 1495–1528 
     
  19. Bunoiu R., Cardone G., Nazarov S. A. Scalar boundary value problems on junctions of thin rods and plates. II. Self-adjoint extensions and simulation models // ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 2018. V. 52. P. 481–508. 
     
  20. Gaudiello A., Guibé O., Murat F. Homogenization of the brush problem with a source term in $L^1$ // Arch. Rat. Mechanics Anal. 2017. V. 225, N 1. P. 1–64.
     
  21. Kirchhoff G. R. Über das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe // J. Reine Angew. Math. 1850. V. 40. P. 51–88.
     
  22. Love A. E. H. On the small free vibrations and deformations of elastic shells // Philosophical Trans. of the Royal Society (London). Série A. 1888. V. 17. P. 491–549.
     
  23. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1949.
     
  24. Гольденвейзер А. Н. Теория упругих тонких оболочек. M.: Гостехиздат, 1953.
     
  25. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. M.: Гостехтеоретиздат, 1956.
     
  26. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.
     
  27. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. M.: Наука, 1970.
     
  28. Шойхет Б. А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры // Прикл. математика и механика. 1973. Т. 37, № 5. С. 913–924.
     
  29. Ciarlet P. G. Plates and junctions in elastic multi-structures: An asymptotic analysis. Paris: Masson, 1988.
     
  30. Mazja W. G., Nasarow S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. Berlin: Akademie-Verl., 1991.
     
  31. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Науч. книга, 2002.
     
  32. Panassenko G. Multi-scale modelling for structures and composites. Dordrecht: Springer, 2005.
     
  33. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia É. Couplage flexion-torsion-traction dans les poutres anisotropes à section hétérogène // C. R. Acad. Sci. Paris Sér. II Méc. Phys. Chim. Sci. Univers Sci. Terre. 1991. V. 312, N 4. P. 337–344.
     
  34. Назаров С. А. Обоснование асимптотической теории тонких стержней. Интегральные и поточечные оценки // Проблемы математического анализа. СПб: Изд-во СПбГУ, 1997. Т. 17. С. 101–152.
     
  35. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia É. Coques elastiques mines. Proprietes asymptotiques. Paris: Masson, 1997.
     
  36. Clebsch A. Theorie der Elastizität der festen Körper. Leipzig, 1862.
     
  37. Лехницкий С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971.
     
  38. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.
     
  39. Ржаницын А. Р. Строительная механика. M.: Высшая школа, 1982.
     
  40. Светлицкий В. А. Механика стержней. Т. 1, 2. M.: Высшая школа, 1987.
     
  41. Елисеев В. В., Орлов С. Г. Асимптотическое расщепление в пространственной задаче линейной упругости для удлиненных тел со структурой // Прикл. математика и механика. 1999. Т. 63, № 1. С. 93–101.
     
  42. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства математической физики. М.: Физматгиз, 1962.
     
  43. Зорин И. С., Назаров С. А. Краевой эффект при изгибе тонкой трехмерной пластины // Прикл. математика и механика. 1989. Т. 53, № 4. С. 642–650.
     
  44. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. о-ва. 1963. Т. 16. С. 219–292.
     
  45. Nazarov S. A., Plamenevsky B. A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1994.
     
  46. Назаров С. А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи мат. наук. 1999. Т. 54, № 5. С. 77–142.
     
  47. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Оценки в $L_p$ и в классах Гёльдера и принцип максимума Миранда — Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1977. V. 77. P. 25–82.
     
  48. Panassenko G. P. Asymptotic analysis of bar systems. 1 // Russian J. Math. Phys. 1994. V. 2, N 3. P. 325–352.
     
  49. Panassenko G. P. Asymptotic analysis of bar systems. 2 // Russian J. Math. Phys. 1996. V. 4, N 1. P. 87–116.
     
  50. Kozlov V., Nazarov S. A. On the spectrum of an elastic solid with cusps // Adv. Differ. Equ. 2016. V. 21, N 9/10. P. 887–944.
     
  51. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
     
  52. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна // Успехи мат. наук. 1988. Т. 43, № 5. С. 55–98.
     
  53. Назаров С. А. Асимптотические разложения на бесконечности решений задачи теории упругости в слое // Тр. Моск. мат. о-ва. 1998. Т. 60. С. 3–97.
     
  54. Cioranescu D., Oleinik O. A., Tronel G. Korn′s inequalities for frame type structures and junctions with sharp estimates for the constants // Asymptot. Anal. 1994. V. 8, N 1. P. 1–14.
     
  55. Назаров С. А. Весовое анизотропное неравенство Корна для сочленения пластины со стержнями // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 4. С. 97–126.
     
  56. Назаров С. А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63, № 1. С. 37–110.
     
  57. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II // Commun. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. P. 35–92.
     
  58. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Даглиса — Л. Ниренберга. I // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28, № 3. С. 665–706.
     
  59. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Даглиса — Л. Ниренберга. II // Тр. МИАН СССР. 1966. Т. 92, № 3. С. 233–297.
     
  60. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Оценки функции Грина и шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле // Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19, № 5. С. 1065–1082.
     
  61. Назаров С. А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, № 5. С. 1–92.
     
  62. Назаров С. А. Поведение на бесконечности решений систем Ламе и Стокса в секторе слоя // Докл. АН АрмССР. 1988. Т. 87, № 4. С. 156–159.
     
  63. Назаров С. А. Асимптотика решения задачи Неймана в точке касания гладких компонент границы области // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58, № 1. С. 92–120.
     
  64. Назаров С. А. О течении воды под лежачий камень // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 11. С. 75–110.
     
  65. Nazarov S. A., Pileckas K. The asymptotic properties of the solution to the Stokes problem in domains that are layer-like at infinity // J. Math. Fluid Mech. 1999. V. 1, N 2. P. 131–167.
     
  66. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.
     
  67. Oleinik O. A., Yosifian G. A. On the asymptotic behavior at infinity of solutions in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1983. V. 78. P. 29–53.
     
  68. Ван Дайк М. Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967.
     
  69. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
     
  70. Korn A. Solution générale du probléme d’équilibre dans la théorie l’élasticité dans le cas où les efforts sont donnés à la surface // Ann. Université Toulouse. 1908. P. 165–269.
     
  71. Назаров С. А. Неравенства Корна, асимптотически точные для тонких областей // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1992. № 2 (№ 8). С. 19–24.
     
  72. Hardy G. H. Note on a theorem of Hilbert // Math. Zeitschr. 1920. V. 6. P. 314–317.
     
  73. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
     
  74. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Мир, 1980.
     
  75. Назаров С. А., Слуцкий А. С. Неравенство Корна для произвольной системы тонких искривленных стержней // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 6. С. 1319–1331.
     
  76. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.: Гостехиздат, 1952.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект 124041500009-8).

Назаров Сергей Александрович (ORCID 0000-0002-8552-1264)
  1. Институт проблем машиноведения РАН, лаборатория «Математические методы механики материала», 
    ВО, Большой проспект, 61, Санкт-Петербург 199178

E-mail: srgnazarov@yahoo.co.uk

Статья поступила 14 ноября 2024 г.
После доработки — 14 ноября 2024 г.
Принята к публикации 25 февраля 2025 г.