Конечномерные 2-порожденные алгебры Ли дифференцирований на T-многообразиях

Конечномерные 2-порожденные алгебры Ли дифференцирований на $T$-многообразиях

Матвеев Д. А.
Сибирский математический журнал, 66, 3, 465-480 (2025)
Скачать статью

УДК 512.554.35 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.311

Аннотация:

Рассмотрим аффинное алгебраическое многообразие с действием тора сложности 1. Известно, что в этом случае однородные локально нильпотентные дифференцирования на алгебре функций этого многообразия задаются в терминах полиэдрального дивизора. В работе получена формула для кратных коммутаторов двух однородных локально нильпотентных дифференцирований, когда среди них не более одного дифференцирования горизонтального типа. С использованием полученной формулы выведен критерий конечномерности алгебр Ли, порожденных парой однородных локально нильпотентных дифференцирований в алгебре Ли всех дифференцирований алгебры функций многообразия с действием тора.

Литература:
  1. Fulton W. Introduction to toric varieties. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1993.
     
  2. Cox D. A., Little J. B., Schenk H. K. Toric varieties. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2011. (Grad. Stud. Math.; V. 124).
     
  3. Altmann K., Hausen J. Polyhedral divisors and algebraic torus actions // Math. Ann. 2006. V. 334, N 3. P. 557–607.
     
  4. Liendo A. Ga-actions of fiber type on affine $T$-varieties // J. Algebra. 2010. V. 324, N 12. P. 3653–3665.
     
  5. Liendo A. Affine $T$-varieties of complexity one and locally nilpotent derivations // Transform. Groups. 2010. V. 15, N 2. P. 389–425.
     
  6. Arzhantsev I., Liendo A. Polyhedral divisors and $SL_2$-actions on affine $T$-varieties // Michigan Math. J. 2012. V. 61, N 4. P. 731–762.
     
  7. Матвеев Д. А. Коммутирующие однородные локально нильпотентные дифференцирования // Мат. сб. 2019. Т. 210, № 11. С. 103-128.
     
  8. Kraft H., Zaidenberg M. Algebraically generated groups and their Lie algebras // J. London Math. Soc. 2024. V. 109, N 2. Paper no. e12866, 39 pp.
     
  9. Arzhantsev I., Makedonskii E., Petravchuk A. Finite-dimensional subalgebras in polynomial Lie algebras of rank one // Ukr. Math. J. 2011. V. 63. P. 827–832.
     
  10. Arzhantsev I., Liendo A., Stasyuk T. Lie algebras of vertical derivations on semiaffine varieties with torus actions // J. Pure Appl. Algebra. 2021. V. 225, N 2. Paper no. 106499, 18 pp.
     
  11. Arzhantsev I., Zaidenberg M. Tits-type alternative for groups acting on toric affine varieties // Intern. Math. Res. Notices IMRN 2022. 2022. N 11. P. 8162–8195.
     
  12. Vergne M. Cohomologie des alg`ebres de Lie nilpotentes. Application á l’étude de la variété des algébres de Lie nilpotentes // Bulletin de la S. M. F. 1970. V. 98. P. 81–116.
     
  13. Freudenburg G. Algebraic theory of locally nilpotent derivations. Berlin: Springer, 2017. (Encyclopaedia Math. Sci.; V. 136).
     
  14. Винберг Э. Б., Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Строение групп и алгебр Ли. Группы Ли и алгебры Ли–3. М.: ВИНИТИ, 1990. Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 41.
     
  15. Ceballos M., Valdés J., Tenorio A. Representing filiform Lie algebras minimally and faithfully by strictly upper-triangular matrices // J. Algebra Appl. 2013. V. 12, N 4. 1250196.

Исследование выполнено в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ в 2025 г.

Матвеев Дмитрий Александрович (ORCID 0000-0003-1272-0155)
  1. Национальный исследовательский университет «Высшая Школа Экономики», 
    факультет компьютерных наук, 
    Покровский бульвар 11, Москва 109028
  2. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 
    механико-математический факультет, кафедра высшей алгебры, 
    Ленинские горы, 1, Москва 119991

E-mail: dmitry.a.matveev@yandex.ru

Статья поступила 14 января 2024 г.
После доработки — 2 февраля 2025 г.
Принята к публикации 25 февраля 2025 г.