О гипонормальных измеримых операторах, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

О гипонормальных измеримых операторах, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

Бикчентаев А. М.
Сибирский математический журнал, 66, 3, 396-405 (2025)
Скачать статью

УДК 517.983:517.986 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.306

Аннотация:

Пусть $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана $\mathscr {M}$. Исследованы случаи, когда гипонормальный $\tau$-измеримый оператор (или некоторое его сужение) является нормальным. Получен критерий гипонормальности $\tau$-измеримого оператора в терминах его функции сингулярных значений. Множество всех $\tau$-измеримых гипонормальных операторов замкнуто в топологии $\tau$-локальной сходимости по мере. Это утверждение является обобщением задачи 226 из книги “P. R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Second Edition, SpringerVerl., Berlin, 1982” на неограниченные операторы. Множество всех $\tau$-измеримых когипонормальных операторов замкнуто в топологии $\tau$-локальной сходимости по мере тогда и только тогда, когда алгебра фон Неймана $\mathscr {M}$ конечна.

Литература:
  1. Bogdanovi$\acute{c}$ K. A class of norm inequalities for operator monotone functions and hyponormal operators // Complex Anal. Oper. Theory. 2024. V. 18, N 2. Paper No. 32. 12 pp.  
     
  2. Uchiyama A. Decomposition of hyponormal operator // Nihonkai Math. J. 2023. V. 34, N 2. P. 91–102.  
     
  3. Bala N., Ramesh G. A representation of hyponormal absolutely norm attaining operators // Bull. Sci. Math. 2021. V. 171. Paper No. 103020, 15 pp.  
     
  4. Gu C., Hendricks J., Rutherford D. Hyponormality of block Toeplitz operators // Pacif. J. Math. 2006. V. 223, N 1. P. 95–111.  
     
  5. Ch$\overline{o}$ M., Itoh M. Putnam’s inequality for $p$-hyponormal operators // Proc. Am. Math. Soc. 1995. V. 123, N 8. P. 2435–2440.  
     
  6. Curto R. E., Hwang I. S., Lee W. Y. Hyponormality and subnormality of block Toeplitz operators // Adv. Math. 2012. V. 230. P. 2094–2151.  
     
  7. Duggal B. P. On $p$-hyponormal contractions // Proc. Am. Math. Soc. 1995. V. 123, N 1. P. 81–86.  
     
  8. Бикчентаев А. М. О нормальных $\tau$-измеримых операторах, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Мат. заметки. 2014. Т. 96, № 3. С. 350–360.  
     
  9. Bikchentaev A. M. Paranormal measurable operators affiliated with a semifinite von Neumann algebra // Lobachevskii J. Math. 2018. V. 39, N 6. P. 731–741.  
     
  10. Bikchentaev A. Paranormal measurable operators affiliated with a semifinite von Neumann algebra. II // Positivity. 2020. V. 24, N 5. P. 1487–1501.  
     
  11. Бикчентаев А. М. К теории $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана. II // Математика и теоретические компьютерные науки. 2023. Т. 1, № 2. С. 3–11.  
     
  12. Bikchentaev A. M. Concerning the theory of $\tau$-measurable operators affiliated to a semifinite von Neumann algebra. II // Lobachevskii J. Math. 2023. V. 44, N 10. P. 4507–4511.  
     
  13. Bikchentaev A. Hyponormal measurable operators, affiliated to a semifinite von Neumann algebra // Adv. Operator Theory. 2024. V. 9, N 4. Article 83.  
     
  14. Dehimi S., Mortad M. H. Unbounded operators having self-adjoint, subnormal, or hyponormal powers // Math. Nachr. 2023. V. 296, N 9. P. 3915–3928.  
     
  15. Halmos P. R. A Hilbert space problem book, Second Edition. Berlin: Springer-Verl., 1982.  
     
  16. Takesaki M. Theory of operator algebras. I. Encyclopaedia of mathematical sciences, 124. Operator algebras and non-commutative geometry, 5. Berlin: Springer-Verl., 2002.  
     
  17. Dodds P. G., de Pagter B., Sukochev F. A. Noncommutative integration and operator theory. Cham: Birkhäuser, 2023 (Progress in mathematics; V. 349).  
     
  18. Takesaki M. Theory of operator algebras. II. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 125. Operator Algebras and Non-commutative Geometry, 6. Berlin: Springer-Verl., 2003.  
     
  19. Fack T., Kosaki H. Generalized $s$-numbers of $\tau$-measurable operators // Pacif. J. Math. 1986. V. 123, N 2. P. 269–300.  
     
  20. Бикчентаев А. М. Локальная сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана // Тр. МИАН. 2006. Т. 255. С. 41–54.  
     
  21. Бикчентаев А. М. Топологии локальной сходимости по мере в алгебрах измеримых операторов // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 1. С. 17–27.  
     
  22. Ciach L. J. Some remarks on the convergence in measure and on a dominated sequence of operators measurable with respect to a semifinite von Neumann algebra // Colloq. Math. 1988. V. 55, N 1. P. 109–121.   
     
  23. Bikchentaev A. M. The continuity of multiplication for two topologies associated with a semifinite trace on von Neumann algebra // Lobachevskii J. Math. 2004. V. 14. P. 17–24.  
     
  24. Бикчентаев А. М. Локальная сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана, II // Мат. заметки. 2007. Т. 82, № 5. С. 783–786.  
     
  25. Бикчентаев А. М., Тихонов О. Е. Непрерывность операторных функций в топологии локальной сходимости по мере // Тр. МИАН. 2024. Т. 324. С. 51–59.  
     
  26. Бикчентаев А. М. О минимальности топологии сходимости по мере на конечных алгебрах фон Неймана // Мат. заметки. 2004. Т. 75, № 3. С. 342–349.  
     
  27. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.  
     
  28. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.  
     
  29. Бикчентаев А. М. Об операторно монотонных и операторно выпуклых функциях // Изв. вузов. Математика. 2016. № 5. С. 70–74.  
     
  30. Бикчентаев А. М. Об идемпотентных $\tau$-измеримых операторах, присоединенных к алгебре фон Неймана // Мат. заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 492–503.  
     
  31. Str$\breve{a}$til$\breve{a}$ S. V., Zsidó L. Lectures on von Neumann algebras. 2nd edition. Cambridge-IISc Series.. Delhi: Camb. Univ. Press, 2019.  
     
  32. Муратов М. А., Чилин В. И. Топологические алгебры измеримых и локально измеримых операторов // Современная математика. Фундаментальные направления. 2016. Т. 61.

Работа выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2024-1438).

Бикчентаев Айрат Мидхатович (ORCID 0000-0001-5992-3641)
  1. Казанский (Приволжский) федеральный университет, 420008 
    Казань, ул. Кремлевская, 18

E-mail: Airat.Bikchentaev@kpfu.ru

Статья поступила 26 сентября 2024 г.
После доработки — 14 февраля 2025 г.
Принята к публикации 25 февраля 2025 г.