Об устранимых особенностях для квазирегулярных отображений

Об устранимых особенностях для квазирегулярных отображений

Асеев В. В.
Сибирский математический журнал, 66, 3, 363-377 (2025)
Скачать статью

УДК 517.54 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.303

Аннотация:

Рассматривается непрерывное открытое конечнократное отображение $f$ области $G$, содержащей замкнутое множество $E$. Для каждого натурального $k$ рассматривается множество $E(k)$ (возможно, пустое) всех тех точек из $E$, в которых $f$ принимает значение с кратностью $k$ по области $G$. Пусть каждая точка из $E(k)$ имеет окрестность, в которой ограничение $f$ на $E(k)$ инъективно и обратное к нему отображение является слабо $(h, H)$-квазисимметрическим. Если при этом $f$ квазирегулярно вне $E$, то оно будет квазирегулярным на всей области $G$. Эта теорема является обобщением достаточного признака устранимости замкнутых множеств в классе квазиконформных отображений, полученного в статье [J. Väisälä, Manuscripta math., 69, 101–111 (1990)].

Литература:
  1. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function-theoretic null-sets // Acta Math. 1950. V. 83. P. 101–129.
     
  2. Песин И. Н. Метрические свойства квазиконформных отображений // Мат. сб. 1956. Т. 40, № 3. С. 281–294.
     
  3. Väisälä J. On the null-sets for extremal distances // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1962. V. 322. P. 1–22.
     
  4. Асеев В. В., Сычёв А. В. О множествах, устранимых для пространственных квазиконформных отображений // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, № 6. С. 1213–1227.
     
  5. Шлык В. А. Нормальные области по Гретшу и топологически устранимые множества для пространственных гомеоморфизмов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 112, № 3. С. 553–555.
     
  6. Шлык В. А. Нормальные области и устранимые особенности // Изв. АН. Сер. мат. 1993. Т. 57, № 4. С. 93–117.
     
  7. Шлык В. А. Топологически устранимые компакты для пространственных квазиконформных отображений // Дальневост. мат. сб. 1995. № 1. С. 63–67.
     
  8. Shlyk V. A. Spherical symmetrization and NED-sets on a hyperplane // J. Math. Sci. New York. 2013. V. 193, N 1. P. 145–150.
     
  9. Väisälä J. Quasisymmetry and unions // Manuscripta Math. 1990. V. 68, N 1. P. 101–111.
     
  10. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.
     
  11. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. 1969. V. 448, N 12. P. 1–40.
     
  12. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. 1970. V. 465. P. 1–13.
     
  13. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Topological and metric properties of quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. 1971. V. 488. P. 1–31.
     
  14. Tukia P., Väisälä J. Quasisymmetric embeddings of metric spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser A I Math. 1980. V. 5, N 1. P. 97–114.
     
  15. Wang Xiantao, Zhou Qingshan. Quasimöbius maps, weakly quasimöbius maps and uniform perfectness in quasi-metric spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2017. V. 42, N 1. P. 257–284.
     
  16. Väisälä J. Lectures on n-dimentional quasiconformal mappings. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1971. (Lect. Notes Math.; V. 229).
     
  17. Vuorinen M. Conformal geometry and quasiconformal mappings. Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer-Verl., 1988. (Lect. Notes Math.; V. 1319).
     
  18. Куратовский К. Топология. Т. 1, 2. М.: Мир, 1966, 1969.
     
  19. Асеев В. В. Нормальные семейства топологических вложений // Динамика сплошной среды. 1986. Т. 76. С. 32–42.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект № FWNF2022-0005).

Асеев Владислав Васильевич
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: btp@math.nsc.ru, aseevvv@yandex.ru

Статья поступила 21 октября 2024 г.
После доработки — 21 марта 2025 г.
Принята к публикации 25 апреля 2025 г.