Дополнительное уравнение первого порядка для бесконечно малых изгибаний гладких поверхностей

Дополнительное уравнение первого порядка для бесконечно малых изгибаний гладких поверхностей в изотермических координатах

Александров В. А.
Сибирский математический журнал, 66, 3, 349-362 (2025)
Скачать статью

УДК 514.7 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.302

Аннотация:

Статья посвящена теории бесконечно малых изгибаний гладких поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. В ней выведено некоторое, ранее не встречавшееся в литературе, линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которому удовлетворяет всякое поле вращения Дарбу гладкой поверхности. Показано, что для некоторых поверхностей это дополнительное уравнение функционально не зависит от трех стандартных уравнений, которым удовлетворяет (и которыми определяется) поле вращения Дарбу. В качестве приложения для некоторого класса гомеоморфных диску поверхностей, содержащего не только поверхности положительной гауссовой кривизны, доказан принцип максимума для компонент поля вращения Дарбу.

Литература:
  1. Euleri L. Fragmentum 97 // A. Speiser (ed.). Leonhardus Eulerus. Opera omnia, Ser. 1. Opera mathematica. V. 13. Commentationes geometricae. V. 4. Lausannae: Auctoritate et impensis Societatis Scientiarum Naturalium Helveticae, 1956. P. 437–440.
     
  2. Гаусс К. Ф. Общие исследования о кривых поверхностях // А. П. Норден (ред.). Об основаниях геометрии. М.: ГИТТЛ, 1956. С. 123–161.
     
  3. Иванова-Каратопраклиева И., Сабитов И. Х. Изгибание поверхностей. I // Н. М. Остиану (ред.). Итоги науки и техники. Серия «Проблемы геометрии». Т. 23. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 131–184.
     
  4. Климентов С. Б. Введение в теорию изгибаний. Двумерные поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Ростов-на-Дону: Изд-во Южного федерального ун-та, 2014. [В электронном виде книга доступна на https://elibrary.ru/item.asp?id=24164017].
     
  5. Боярский Б. В., Ефимов Н. В. Принцип максимума для бесконечно малых изгибаний кусочно-регулярных выпуклых поверхностей // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, № 6. С. 147–153.
     
  6. Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969.
     
  7. Сабитов И. Х. Локальная структура поверхностей Дарбу // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, № 5. С. 1001–1004.
     
  8. Yau S.-T. Problem section // S.-T. Yau (ed.). Seminar on differential geometry. Ann. Math. Stud. V. 102. Princeton: Princeton Univ. Press, 1982. P. 669–706.
     
  9. Решетняк Ю. Г. О нежестких поверхностях вращения // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 4. С. 591–604.
     
  10. Троценко Д. А. О нежестких аналитических поверхностях вращения // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 5. С. 100–108.
     
  11. Кон-Фоссен С. Э. Изгибаемость поверхностей в целом // Успехи мат. наук. 1936. № 1. С. 33–76.
     
  12. Дарбу Ж. Г. Лекции по общей теории поверхностей. Т. IV. Бесконечно малое изгибание и сферическое представление. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013.
     
  13. Rembs E. Verbiegungen höherer Ordnung und ebene Flächenrinnen // Math. Z. 1933. Bd 36. S. 110–121.
     
  14. Ефимов Н. В. Качественные вопросы теории деформаций поверхностей // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, № 2. С. 47–158.
     
  15. Alexandrov V. New manifestations of the Darboux’s rotation and translation fields of a surface // N. Z. J. Math. 2010. V. 40. P. 59–65.
     
  16. Gauss C. F. On conformal representation // D. E. Smith (ed.). A source book in mathematics. V. 2. New York: Dover Publications, 1959. P. 463–475.
     
  17. Chern S.-S. An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a surface // Proc. Am. Math. Soc. 1955. V. 6. P. 771–782.
     
  18. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.
     
  19. Douady A. Le théorème d’intégrabilité des structures presque complexes (d′après des notes de X. Buff) // T. Lei (ed.). The Mandelbrot set, theme and variations. London Math. Soc. Lect. Note Ser. V. 274. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2000. P. 307–324.
     
  20. Fillastre F., Slutskiy D. (eds.). Reshetnyak′ s theory of subharmonic metrics. Cham: Springer, 2023.
     
  21. Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. М.: Физматкнига, 2012.
     
  22. Gray A., Abbena E., Salamon S. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. 3rd ed. Boca Raton: CRC, 2006.
     
  23. Мазья В. Г., Кресин Г. И. О принципе максимума для сильно эллиптических и параболических систем второго порядка с постоянными коэффициентами // Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. С. 458–480.

     
  24. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.
     
  25. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.
     
  26. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
     
  27. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. М.: Наука, 1964.

Работа подготовлена в рамках выполнения государственного задания Министерства образования и науки РФ для Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (проект FWNF–2022–0006).

Александров Виктор Алексеевич (ORCID 0000-0002-6622-8214)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
  2. Новосибирский государственный университет, физический факультет, 
    ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090

E-mail: alex@math.nsc.ru

Статья поступила 18 октября 2024 г.
После доработки — 11 марта 2025 г.
Принята к публикации 25 апреля 2025 г.