О рациональных интегралах натуральных систем в магнитном поле

О рациональных интегралах натуральных систем в магнитном поле

Агапов С. В., Соловьев Д. В.
Сибирский математический журнал, 66, 3, 339-348 (2025)
Скачать статью

УДК 517.938 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.301

Аннотация:

Исследуются натуральные механические системы на двумерной плоскости в магнитном поле, обладающие дополнительным рациональным по импульсам первым интегралом. В данной работе построены новые интегрируемые примеры таких систем, а также исследован вопрос о существовании рациональных интегралов в отсутствии магнитного поля.

Литература:
  1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.
     
  2. Dorizzi B., Grammaticos B., Ramani A., Winternitz P. Integrable Hamiltonian systems with velocity-dependent potentials // J. Math. Phys. 1985. V. 26, N 12. P. 3070–3079.
     
  3. Ferapontov E. V., Fordy A. P. Non-homogeneous systems of hydrodynamic type, related to quadratic Hamiltonians with electromagnetic term // Physica D. 1997. V. 108. P. 350–364.
     
  4. Марихин В. Г., Соколов В. В. Пары коммутирующих гамильтонианов, квадратичных по импульсам // Теорет. и мат. физика. 2006. Т. 149, № 2. С. 147–160.
     
  5. Yehia H. M. On certain two-dimensional conservative mechanical systems with a cubic second integral // J. Phys. A. Math. Gen. 2002. V. 5. P. 9469–9487.
     
  6. Yehia H. M., Elmandouh A. A. Integrable 2D time-irreversible systems with a cubic second integral // Adv. Math. Phys. 2016.V. 2016. 8958747.
     
  7. Elmandouh A. A. New integrable problems in rigid body dynamics with quartic integrals // Acta Mech. 2015. V. 226. P. 2461–2472.
     
  8. Hietarinta J. Direct methods for the search of the second invariant // Physics Rep. 1987. V. 147, N 2. P. 87–154. 
     
  9. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990.
     
  10. Козлов В. В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем // Докл. АН СССР. 1979. Т. 249, № 6. С. 1299–1302.
     
  11. Денисова Н. В., Козлов В. В. Полиномиальные интегралы обратимых механических систем с конфигурационным пространством в виде двумерного тора // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 2. С. 43–63.
     
  12. Миронов А. Е. О полиномиальных интегралах механической системы на двумерном торе // Изв. РАН. Сер. мат. 2010. Т. 74, № 4. С. 145–156.
     
  13. Денисова Н. В., Козлов В. В., Трещев Д. В. Замечания о полиномиальных интегралах высших степеней обратимых систем с торическим пространством конфигураций // Изв. РАН. Сер. мат. 2012. Т. 76, № 5. С. 57–72.
     
  14. Тайманов И. А. О примере перехода от хаоса к интегрируемости в магнитных геодезических потоках // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 4. С. 632–634.
     
  15. Taimanov I. A. On an integrable magnetic geodesic flow on the two-torus // Regul. Chaotic Dyn. 2015. V. 20, N 6. P. 667–678.
     
  16. Тайманов И. А. О первых интегралах геодезических потоков на двумерном торе // Тр. МИАН. 2016. Т. 295. С. 241–260.
     
  17. Agapov S., Valyuzhenich A. Polynomial integrals of magnetic geodesic flows on the 2-torus on several energy levels // Disc. Cont. Dynam. Systems. A. 2019. V. 39, N 11. P. 6565–6583.
     
  18. Агапов С. В., Валюженич А. А., Шубин В. В. Некоторые замечания о полиномиальных интегралах высокой степени магнитного геодезического потока на двумерном торе // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 4. С. 715–720.
     
  19. Bialy M. L., Mironov A. E. New semi-Hamiltonian hierarchy related to integrable magnetic flows on surfaces // Cent. Europ. J. Math. 2012. V. 10, N 5. P. 1596–1604.
     
  20. Agapov S. V., Bialy M., Mironov A. E. Integrable magnetic geodesic flows on 2-torus: new examples via quasi-linear system of PDEs // Comm. Math. Phys. 2017. V. 351, N 3. P. 993–1007.
     
  21. Hietarinta J. New integrable Hamiltonians with transcendental invariants // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52, N 13. P. 1057–1060.
     
  22. Козлов В. В. О рациональных интегралах геодезических потоков // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 4. С. 439–445.
     
  23. Агапов С. В. Рациональные интегралы натуральной механической системы на двумерном торе // Сиб. мат. журн. 2020. Т. 61, № 2. С. 255–265.
     
  24. Агапов С. В., Турсунов М. М. О рациональных интегралах двумерных натуральных систем // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 4. С. 665–674.
     
  25. Agapov S., Shubin V. Rational integrals of 2-dimensional geodesic flows: New examples // J. Geom. Physics. 2021. V. 170. 104389.
     
  26. Agapov S., Potashnikov A., Shubin V. Integrable magnetic geodesic flows on 2-surfaces // Nonlinearity. 2023. V. 36, N 4. P. 2129–2147.
     
  27. Agapov S., Shubin V. New examples of non-polynomial integrals of two-dimensional geodesic flows // J. Phys. A: Math. Theor. 2024. V. 57, N 1. Paper no. 015204, 17 pp.
     
  28. Agapov S. V., Demina M. V. Integrable geodesic flows and metrisable second-order ordinary differential equations // J. Geom. Physics. 2024. V. 199. 105168.
     
  29. Saleeby E. G. Meromorphic solutions of generalized inviscid Burgers’ equations and a family of quadratic PDEs // J. Math. Anal. Appl. 2015. V. 425, N 1. P. 508–519.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-11-00281, https://rscf.ru/project/24-11-00281/.

Агапов Сергей Вадимович (ORCID 0009-0009-4135-5792)
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090
  2. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: agapov.sergey.v@gmail.com

Соловьев Дмитрий Вячеславович
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

E-mail: d.solovev@g.nsu.ru

Статья поступила 8 октября 2024 г.
После доработки — 8 октября 2024 г.
Принята к публикации 25 февраля 2025 г.