Операторы композиции в пространствах Соболева на римановых многообразиях

Операторы композиции в пространствах Соболева на римановых многообразиях

Водопьянов С. К.
Сибирский математический журнал, 65, 6, 1128-1152 (2024)
Скачать статью

УДК 517.518+517.54 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.606

Аннотация:

Исследуются измеримые отображения римановых многообразий, индуцирующие по правилу замены переменной ограниченные операторы пространств Соболева. Получены эквивалентное описание таких отображений и некоторые дополнительные свойства.

Литература:
  1. Соболев С. Л. О некоторых группах преобразований $n$-мерного пространства // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32, № 6. С. 380–382.
     
  2. Водопьянов С. K. О регулярности отображений, обратных к соболевским // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 10. С. 3–32.
     
  3. Водопьянов С. K., Гольдштейн В. М. Структурные изоморфизмы пространств $W_n^1$ и квазиконформные отображения // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 2. С. 224–246.
     
  4. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
     
  5. Nakai M. Algebraic criterion on quasiconformal equivalence of Riemann surfaces // Nagoya Math. J. 1960. V. 16. P. 157–184.
     
  6. Lewis L. G. Quasiconformal mappings and Royden algebras in space // Trans. Am. Math. Soc. 1971. V. 158, N 2. P. 481–492.
     
  7. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Функциональные характеристики квазиизометрических отображений // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 4. С. 768–773.
     
  8. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Новый функциональный инвариант для квазиконформных отображений // Некоторые вопросы современной теории функций: Материалы конф. Новосибирск: Ин-т математики СО АН, 1976. С. 18–20.
     
  9. Водопьянов С. К. Отображения однородных групп и вложения функциональных пространств // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 5. С. 25–41.
     
  10. Гольдштейн В. М., Романов А. С. Об отображениях, сохраняющих пространства Соболева // Сиб. мат. журн. 1984. Т. 25, № 3. С. 55–61.
     
  11. Романов А. С. О замене переменной в пространствах потенциалов Бесселя и Рисса // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН, 1985. С. 117–133.
     
  12. Водопьянов С. К. $L_p$-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах // Современные проблемы геометрии и анализа. Новосибирск: Наука, 1989. С. 45–89.
     
  13. Vodopyanov S. K. Composition operators on Sobolev spaces // Complex analysis and dynamical systems II: A conference in honor of Professor Lawrence Zalcman’s sixtieth birthday, June 9–12, 2003, Nahariya, Israel. Ann Arbor: Am. Math. Soc., 2005. P. 327–342. (Contemp. Math.; V. 382).
     
  14. Водопьянов С. К., Евсеев Н. А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиизометрические отображения // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 5. С. 1001–1039.
     
  15. Водопьянов С. К., Евсеев Н. А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и метрические свойства отображений // Докл. АН. 2015. Т. 464, № 2. С. 131–135.
     
  16. Водопьянов С. К., Евсеев Н. А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиконформные отображения // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 5. С. 989–1029.
     
  17. Мазья В. Г., Шапошникова Т. О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.
     
  18. Bourdaud G., Sickel W. Changes of variable in Besov spaces // Math. Nachr. 1999. V. 198. P. 19–39.
     
  19. Koch H., Koskela P., Saksman E., Soto T. Bounded compositions on scaling invariant Besov spaces // J. Funct. Anal. 2014. V. 266, N 5. P. 2765–2788.
     
  20. Koskela P., Yang D., Zhou Y. Pointwise characterizations of Besov and Triebel–Lizorkin spaces and quasiconformal mappings // Adv. Math. 2011. V. 226, N 4. P. 3579–3621.
     
  21. Водопьянов С. К. О допустимых заменах переменных для функций классов Соболева на (суб)римановых многообразиях // Докл. АН. 2016. Т. 468, № 6. С. 609–613.
     
  22. Водопьянов С. К. Допустимые замены переменных для функций классов Соболева на (суб)римановых многообразиях // Мат. сб. 2019. Т. 210, № 1. С. 63–112.
     
  23. Водопьянов С. К. Изоморфизмы соболевских пространств на римановых многообразиях и квазиконформные отображения // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 5. С. 996–1034.
     
  24. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Пространства Cоболева и ($P, Q$)-квазиконформные отображения групп Карно // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 4. С. 776–795.
     
  25. Водопьянов С. К., Томилов А. O. Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа // Изв. РАН. Сер. мат. 2021. Т. 85, № 5. С. 58–109.
     
  26. Водопьянов С. К., Евсеев Н. А. Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 2. С. 283–315.
     
  27. Водопьянов С. К. Функционально-геометрические свойства пределов ACL-отображений с интегрируемым искажением // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 5. С. 605–621.
     
  28. Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2004.
     
  29. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 657–675.
     
  30. Troyanov M., Vodop’yanov S. Liouville type theorems for mappings with bounded (co-)distortion // Ann. l’Inst. Fourier. 2002. V. 52, N 6. P. 1753–1784.
     
  31. Vodop′yanov S. K. $\mathscr{P}$-Differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry. Novosibirsk: Sobolev Institute Press, 2000. P. 603–670.
     
  32. Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot–Carathéodory spaces and differentiability of mappings // Contemporary Mathematics. Ann Arbor: Am. Math. Soc., 2007. V. 424. P. 247–302.
     
  33. Водопьянов С. К. Отображения с ограниченным искажением и с конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. С. 764–804.
     
  34. Rickman S. Quasiregular mappings. Berlin: Springer-Verl., 1993 (Results in Mathematics and Related Area; V. 26).
     
  35. Federer H. Geometric measure theory. Berlin: Springer-Verl., 1960.
     
  36. Эванс Л. К., Гариепи Р. Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск: Научная книга, 2002. 
     
  37. Hajłasz P. Change of variables formula under the minimal assumptions // Colloq. Math. 1993. V. 64, N 1. P. 93–101.
     
  38. Водопьянов С. К. Операторы подстановки пространств Соболева // Современные проблемы теории функций и их приложений / Тез. докл. конференции, г. Саратов, 2002 г. Саратов: Cаратовск. гос. ун-т, 2002. С. 42–43.
     
  39. Vodop’yanov S. K., Ukhlov A. D. Set functions and their applications in the theory of Lebesgue and Sobolev spaces. Ch. I (Ch. II) // Sib. Adv. Math. 2004 (2005). V. 14 (15), N 4 (1). P. 78–125 (91–125).
     
  40. Гусман М. Дифференцирование интегралов в $\mathbb{R}^n$. М.: Мир, 1978.
     
  41. Брудный Ю. А., Котляр Б. Д. Одна задача комбинаторной геометрии // Сиб. мат. журн. 1970. Т. 11, № 5. С. 1171–1173.
     
  42. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1987.
     
  43. Cheeger J., Gromov M., Taylor M. Finite propagation speed, kernel estimates for functions of the Laplace operator, and the geometry of complete Riemannian manifolds // J. Differ. Geom. 1982. V. 17. P. 15–53.
     
  44. Эбей Э. Нелинейный анализ на многообразиях. Пространства и неравенства Соболева. Новосибирск: Изд-во «Тамара Рожковская», 2008.
     
  45. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

Работа подготовлена в рамках выполнения государственного задания Министерства образования и науки РФ для Института математики Сибирского отделения Российской академии наук (проект № FWNF-2022-0006).

Водопьянов Сергей Константинович
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: vodopis@math.nsc.ru

Статья поступила 4 августа 2024 г.
После доработки — 4 августа 2024 г.
Принята к публикации 23 октября 2024 г.