Кубические интегралы гамильтоновой системы с потенциалом класса C 1 на плоском 2-торе

Кубические интегралы гамильтоновой системы с потенциалом класса $C^1$ на плоском $2$-торе

Шарафутдинов В. А.
Сибирский математический журнал, 67, 5, 986-1006 (2026)
Скачать статью

УДК 517 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.518

Аннотация:

Рассматривается двумерная гамильтонова динамическая система с потенциалом, периодическим относительно некоторой решетки. Если система обладает интегралом $F$, являющимся многочленом третьей степени по импульсам с коэффициентами, периодическими относительно той же решетки, то она также обладает линейным по импульсам интегралом $G$, а $F$ выражается через $G$ и гамильтониан $H$. В случае целочисленной решетки этот результат был ранее получен М. Л. Бялым, а в случае произвольной решетки и аналитического потенциала — Н. В. Денисовой и В. В. Козловым. В настоящей работе это утверждение доказывается в случае произвольной решетки для потенциала класса $C^1$. Доказательство значительно усложняется.

Литература:
  1. Бялый М. Л. О полиномиальных по импульсу первых интегралах для механической системы на двумерном торе // Функцион. анализ. 1987. Т. 21, № 4. С. 64–65.
     
  2. Денисова Н. В., Козлов В. В. Полиномиальные интегралы обратимых механических систем с конфигурационным пространством в виде двумерного тора // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 2. С. 43–63.
     
  3. Sharafutdinov V. A. Killing tensor fields of third rank on a two-dimensional Riemannian torus // J. Math. Research. 2022. V. 14, N 1. P. 1–29.
     
  4. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. М.: Наука, 1971. Т. 1.
     
  5. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во УдГУ, 1995. 
     
  6. Козлов В. В. Дискретные симметрии уравнений динамики с полиномиальными интегралами высших степеней // Изв. РАН. Сер. мат. 2023. Т. 87, № 5. С. 124–139.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, тема FWNF-2026- 0026.

Шарафутдинов Владимир Альтафович (ORCID 0000-0003-4269-5085)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: sharafut@list.ru 

Статья поступила 3 июня 2026 г.
После доработки — 11 августа 2026 г.
Принята к публикации 11 августа 2026 г.