О случайном блуждании со специфическим алгоритмом переключений

О случайном блуждании со специфическим алгоритмом переключений

Лотов В. И.
Сибирский математический журнал, 67, 5, 960-978 (2026)
Скачать статью

УДК 519.21 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.516

Аннотация:

Изучаются свойства траекторий случайного блуждания с независимыми слагаемыми, у которого распределение скачков меняется между $F_1$ и $F_2$ в соответствии со следующим правилом. Распределение $F_1$ с положительным математическим ожиданием сохраняется до момента первого достижения траекторией множества ($−\infty, −a$), $a \ge 0$, после чего происходит переключение на блуждание с отрицательным сносом, соответствующим распределению $F_2$. Это продолжается до момента первого достижения траекторией горизонтальной границы на уровне $b \ge 0$, после чего распределение скачков вновь переключается на $F_1$, и так далее. В работе приводятся оценки для вероятностей конечности моментов переключений и для вероятности равенства бесконечности супремума траектории, а также точные формулы для этих характеристик в некоторых частных ситуациях. В общем случае найдены двойные преобразования над совместными распределениями моментов переключений и положений процесса в эти моменты, а также получены асимптотические представления для них при $a \to \infty$, $b \to \infty$ в условиях крамеровского типа на распределения $F_1$ и $F_2$.

Литература:
  1. Рогозин Б. А., Фосс С. Г. Возвратность осциллирующего случайного блуждания // Теория вероятностей и ее применения. 1978. Т. 23, № 1. С. 161–169.
     
  2. Keilson J., Servi L. D. Oscillating random walk models for GI/G/I/1 vacation systems with Bernoulli schedules // J. Appl. Probab. 1986. V. 23, N 3. P. 790–802.
     
  3. Лотов В. И. Об осциллирующих случайных блужданиях // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 4. С. 869–880.
     
  4. Ким Д. К., Лотов В. И. Асимптотика стационарного распределения осциллирующего случайного блуждания // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 5. С. 1112–1129.
     
  5. Dudukalov D., Logachov A., Lotov V., Prasolov T., Prokopenko E., Tarasenko A. Convergence, sticking and escape: Stochastic dynamics near critical points in SGD. ArXiv.2505.18535.
     
  6. Лотов В. И. Об одной модели осциллирующего случайного блуждания // Мат. заметки. 2026. Т. 119, № 5. С. 721–731.
     
  7. Ветрова Е. Л. Асимптотика вероятностей больших уклонений для простого осциллирующего случайного блуждания // Фундамент. и прикл. математика. 2020. Т. 23, № 1. С. 89–94.
     
  8. Peigné M., Pham C., Vo T. D. A local limit theorem for lattice oscillating random walks. Arxiv.2509.15647.
     
  9. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: ЛИБРОКОМ, 2009.
     
  10. Боровков A. A. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.
     
  11. Лотов В. И. Об одном подходе в двуграничных задачах // Статистика и управление случайными процессами. М.: Наука, 1989. С. 117–121.
     
  12. Боровков А. А. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 5. С. 645–694.
     
  13. Лотов В. И. Предельные теоремы в одной граничной задаче для случайных блужданий // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 5. С. 1095–1108.

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН (проект FWNF-2026-0030).

Лотов Владимир Иванович (ORCID 0000-0002-3556-2033)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: lotov@math.nsc.ru 

Статья поступила 8 апреля 2026 г.
После доработки — 13 апреля 2026 г.
Принята к публикации 13 апреля 2026 г.