Условия ограниченности и унитарности в пространствах Лебега для интегральных операторов со специальными функциями Лежандра в ядрах

Условия ограниченности и унитарности в пространствах Лебега для интегральных операторов со специальными функциями Лежандра в ядрах

Ситник С. М., Скоромник О. В.
Сибирский математический журнал, 67, 4, 712-743 (2026)
Скачать статью

УДК 519.651 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.412

Аннотация:

Рассматривается класс интегральных операторов со специальными функциями Лежандра в ядрах. Основное содержание составляет обзор результатов по условиям ограниченности и унитарности таких операторов в классических пространствах Лебега. К указанному классу относятся, например, одномерные операторы Бушмана — Эрдейи, многомерные операторы аналогичной структуры, в том числе с интегрированием по специальным пирамидам. Используется техника преобразований Меллина с применением гипергеометрических функций Фокса и формулы обращения для указанного класса интегральных операторов. Во второй части статьи на основе результатов по унитарности операторов Бушмана — Эрдейи для специальных значений параметров рассматриваются обобщения известного свойства операторов Харди, строятся новые дополнительные примеры для этой задачи.

Литература:
  1. Sitnik S. M., Skoromnik O. V. Multi-dimensional integral transform with Fox function in kernel in Lebesgue-type spaces // Mathematics. 2024. V. 12, N 12. 1829. 10 pp.
     
  2. Sitnik S. M., Skoromnik O. V. One-dimensional and multi-dimensional integral transforms of Buschman–Erdelyi type with Legendre functions in kernels // Transmutation Operators and Applications. Trends in Mathematics. Basel: Birkhauser; Springer Nature Switzerland AG, 2020. P. 293–319.
     
  3. Sitnik S. M., Skoromnik O. V., Shlapakov S. A. Multi-dimensional generalized integral transform in the weighted spaces of summable functions // Lobachevskii J. Math. 2022. V. 43, N 6. P. 1408–1416.
     
  4. Sitnik S. M., Skoromnik O. V., Papkovich M. V. A special type of multi-dimensional integral transform with Fox H-function in Lebesgue-type weighted spaces // Lobachevskii J. Math. 2024. V. 45, N 9. P. 4613–4623.
     
  5. Скоромник О. В., Папкович М. В. Многомерное интегральное преобразование с $H$-функцией в ядре в весовых пространствах интегрируемых функций // Вестн. Могилевск. гос. ун-та им. А. А. Кулешова. Сер. В. Естественные науки. 2025. Т. 2. С. 27–44.
     
  6. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.
     
  7. Kilbas A. A., Saigo M. $H$-Transforms. Theory and applications. Boca Raton, Fl.: Chapman and Hall, 2004.
     
  8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция Гаусса. М.: Наука, 1973.
     
  9. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы.. М.: Наука, 1966.
     
  10. Copson E. T. On a singular boundary value problem for an equation of hyperbolic type // Arch. Ration. Mech. Anal. 1958. V. 1, N 4. P. 349–356.
     
  11. Buschman R. G. An inversion integral for a general Legendre transformation // SIAM Rev. 1963. V. 5, N 3. P. 232–233.
     
  12. Erdélyi A. An integral equation involving Legendre functions // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1964. V. 12, N 1. P. 15–30.
     
  13. Srivastava K. N. On some integral transforms // Math. Japon. 1962. V. 6, N 3. P. 65–72.
     
  14. Habibullah G. M. An integral operator involving a Legendre function // J. Natur. Sci. Math. 1981. V. 21, N 2. P. 147–153.
     
  15. Erdélyi A. Some integral equations involving finite parts of divergent integrals // Glasgow Math. J. 1967. V. 8, N 1. P. 50–54.
     
  16. Скоромник О. В. Решение интегральных уравнений с функцией Лежандра в ядрах в $\mathfrak{L}_{\eta, r}$-пространствах // Вест. Бел. гос. ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. 2008. № 13. С. 68–73. 
     
  17. Смирнов М. М. Об одном уравнении Вольтерра с гипергеометрической функцией в ядре // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. математика, механика и астрономия. 1981. Т. 3, № 13. С. 117–119. 
     
  18. Смирнов М. М. Об одном уравнении Вольтерра с гипергеометрической функцией в ядре // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. математика, механика и астрономия. 1984. Т. 3, № 7. С. 111–113.
     
  19. Kilbas A. A., Skoromnik O. V. Integral transforms with the Legendre function of the first kind in the kernels on $\mathfrak{L}_{\nu, r}$-spaces // Integral Transforms and Special Functions. 2009. V. 20, N 9. P. 653–672.
     
  20. Brychkov Yu. A., Glaeske H.-J., Prudnikov A. P., Vu Kim Tuan. Multidimensional integral transformations. Philadelphia, PA: Gordon and Breach, 1992.
     
  21. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006.
     
  22. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Вычисление интегралов и преобразование Меллина. М.: ВИНИТИ, 1989. (Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ. 27).
     
  23. Скоромник О. В., Папкович М. В. Формулы обращения для отдельных случаев многомерного интегрального преобразования с $Н$-функцией в ядре в весовых пространствах интегрируемых функций // Мат. методы в технологиях и технике. 2025. № 12-4. С. 24–26.
     
  24. Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2018. Т. 64, № 2. С. 211–426.
     
  25. Ситник С. М. Унитарность и ограниченность операторов Бушмана — Эрдейи нулевого порядка гладкости. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 1990.
     
  26. Ситник С. М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана — Эрдейи // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320, № 6. С. 1326–1330.
     
  27. Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. М.: Физматлит, 2019.
     
  28. Elina Shishkina, Sergei Sitnik Transmutations, singular and fractional differential equations with applications to mathematical physics. Ser. Mathematics in Science and Engineering. 1st Ed.. Basel: Elsevier, 2020.
     
  29. Carroll R. Transmutation theory and applications. Amsterdam: North-Holland, 1986.
     
  30. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма — Лиувилля. Киев: Наук. Думка, 1972.
     
  31. Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. Думка, 1977.
     
  32. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. 1951. Т. 6, № 2. С. 102–143.
     
  33. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма — Лиувилля. М.: Наука, 1984.
     
  34. Deans S. R. The Radon transform and some of its applications. New York: John Wiley & Sons, 1983.
     
  35. Natterer F. The mathematics of computerized tomography. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001.
     
  36. Rubin B. Weighted spherical harmonics and generalized spherical convolutions. Jerusalem: The Hebrew University of Jerusalem, 1999/2000.
     
  37. Rubin B. Introduction to Radon transforms (with elements of fractional calculus and harmonic analysis. New York: Camb. Univ. Press, 2015.
     
  38. Катрахов В. В. Изометрические операторы преобразования и спектральная функция для одного класса одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251, № 5. С. 1048–1051.
     
  39. Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод факторизации в теории операторов преобразования // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. (Мемориальный сборник памяти Бориса Алексеевича Бубнова, отв. ред. В. Н. Врагов). Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1990. С. 104–122.
     
  40. Катрахов В. В., Ситник С. М. Композиционный метод построения $В$-эллиптических, $В$-гиперболических и $В$-параболических операторов преобразования // Докл. АН СССР. 1994. Т. 337, № 3. С. 307–311.
     
  41. Ситник С. М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений // Вестн. Самарск. гос. ун-та (СамГУ). Естественнонаучная серия. 2008. Т. 8/1. С. 237–248.
     
  42. Shishkina E. L., Sitnik S. M., Jebabli I. Application of integral transforms composition method (ITCM) to obtaining transmutations via integral transforms with Bessel functions in kernels // Сиб. электрон. мат. изв. 2021. V. 18, N 2. P. 884–900.
     
  43. Sitnik S. M., Jebabli I. On applications of integral transforms composition method // Lobachevskii J. Math. 2023. V. 44, N 3. P. 1029–1042.
     
  44. Sitnik S. M., Jebabli I. The integral transforms composition method for generalized index shifted transmutations // Lobachevskii J. Math. 2024. V. 45, N 7. P. 3401–3415.
     
  45. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука. Физматлит, 1997.
Ситник Сергей Михайлович (ORCID 0000-0001-9661-4338)
  1. Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (МГСУ),
    Ярославское шоссе, 26, Москва 129337

E-mail: mathsms@yandex.ru 

Скоромник Оксана Валерьевна (ORCID 0009-0009-7222-4250)
  1. Полоцкий государственный университет имени Ефросинии Полоцкой, 
    ул. Блохина, 29, Новополоцк 211440. Беларусь

E-mail: skoromnik@gmail.com 

Статья поступила 1 апреля 2026 г.
После доработки — 3 апреля 2026 г.
Принята к публикации 3 апреля 2026 г.