Метод предельных уравнений для неавтономных систем с запаздыванием с использованием нескольких функционалов Ляпунова

Метод предельных уравнений для неавтономных систем с запаздыванием с использованием нескольких функционалов Ляпунова

Финогенко И. А.
Сибирский математический журнал, 67, 2, 358-372 (2026)
Скачать статью

УДК 531.911.5 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.214

Аннотация:

Метод предельных дифференциальных уравнений в сочетании с прямым методом функций Ляпунова со знакопостоянными производными является эффективным средством изучения асимптотического поведения решений неавтономных систем. В данной статье этот метод представлен в форме обобщений принципа инвариантности Ла-Салля для функционально-дифференциальных включений с запаздыванием с использованием набора дополнительных функционалов Ляпунова. Метод демонстрируется на механической системе с кулоновым трением в форме уравнений Лагранжа 2-го рода.

Литература:
  1. Руш Н., Абетс М., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.
     
  2. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.
     
  3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1983.
     
  4. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.
     
  5. Мартынюк А. А., Като Д., Шестаков А. А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наук. думка, 1990.
     
  6. Sell G. R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. I, II // Trans. Am. Math. Soc. 1967. V. 127, N 2. P. 241–283.
     
  7. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equation // J. Differ. Equ. 1977. V. 23, N 2. P. 216–223.
     
  8. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equations and Kurzweil equations // J. Differ. Equ. 1977. V. 23, N 2. P. 224–243.
     
  9. Artstein Z. The limiting equations of nonautonomous ordinary differential equations // J. Differ. Equ. 1977. V. 25. P. 184–202.
     
  10. Андреев А. С. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 2009. № 9. С. 4–55.
     
  11. Финогенко И. А. Предельные дифференциальные включения и принцип инвариантности неавтономных систем // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 2. С. 454–471.
     
  12. Матросов В. М. Об устойчивости движения // Прикл. математика и механика. 1962. Т. 26, № 6. С. 992–1002.
     
  13. Матросов В. М., Финогенко И. А. О притяжении для автономных механических систем с трением скольжения // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62, № 1. С. 100–120.
     
  14. Финогенко И. А. О притяжении и слабом притяжении для автономных функционально-дифференциальных включений с использованием нескольких функционалов Ляпунова // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 12. С. 213–221.
     
  15. Финогенко И. А. Об асимптотическом поведении решений неавтономных дифференциальных включений с набором нескольких функций Ляпунова // Вестн. российских университетов. Математика. 2025. Т. 30, № 150. С. 170–182.
     
  16. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005.
     
  17. Куржанский А. Б. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 6, № 10. С. 1800–1809.
     
  18. Финогенко И. А. Принцип инвариантности для неавтономных функционально-дифференциальных включений // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 271–184.
     
  19. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
     
  20. Ким А. В. $i$-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1996.
     
  21. Сурков А. В. Об устойчивости функционально-дифференциальных включений с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 8. С. 1055–1063.
     
  22. Yoshizawa T. Liapunov′s function and boundedness of solutions // Funkcialaj Ekvacioj. 1959. V. 2. P. 95–142.
     
  23. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.
     
  24. Матросов В. М., Финогенко И. А. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, № 6. С. 3–10.
     
  25. Finogenko I. A. On the asymptotic behavior of mechanical systems with friction // Sib. Math. J. 2022. V. 63, N 5. P. 974–982.
     
  26. Lamarque C-H., Bastien J., Holland M. Study of maximal monotone model with a delay term // SIAM J. Numer. Anal. 2003. V. 41, N 4. P. 1286–1300.

Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки России (проект № 1210401300060-4).

Иван Анатольевич Финогенко (ORCID 0000-0001-6821-3385)
  1. Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН, 
    ул. Лермонтова, 134, Иркутск 664033

E-mail: fin2709@mail.ru 

Статья поступила 15 января 2026 г.
После доработки — 15 января 2026 г.
Принята к публикации 12 февраля 2026 г.