Радиальные и шаровые меры стабильностных и осцилляционных свойств дифференциальной системы

Радиальные и шаровые меры стабильностных и осцилляционных свойств дифференциальной системы

Сергеев И. Н.
Сибирский математический журнал, 67, 2, 293-301 (2026)
Скачать статью

УДК 517.925.5 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.209

Аннотация:

Рассматриваются стабильностные и осцилляционные свойства произвольной нелинейной дифференциальной системы с нулевым решением: устойчивость, асимптотическая устойчивость, полная неустойчивость (разных типов: ляпуновского, перроновского, верхнепредельного) и полные блуждаемость, колеблемость, вращаемость (а также полные противоположные им свойства: неблуждаемость, неколеблемость, невращаемость). Для такой системы определяются шаровые и радиальные меры этих свойств — понятия таких мер вероятностного характера были введены в рассмотрение совсем недавно. Изучаются взаимосвязи между значениями различных мер перечисленных свойств друг с другом.

Литература:
  1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.–Л.: ГИТТЛ, 1950.
     
  2. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Math. Z. 1930. V. 31, N 1. P. 748–766. 
     
  3. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.
     
  4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
     
  5. Изобов Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск: БГУ, 2006.
     
  6. Сергеев И. Н. Ляпуновские, перроновские и верхнепредельные свойства устойчивости автономных дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2020. Т. 56. С. 63–78.
     
  7. Сергеев И. Н. О перроновских, ляпуновских и верхнепредельных свойствах устойчивости дифференциальных систем // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 2023. № 33. С. 353–423.
     
  8. Сергеев И. Н. Определение и свойства мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы // Мат. заметки. 2023. Т. 113, № 6. С. 895–904.
     
  9. Сергеев И. Н. Зависимость от начального момента мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы // Вестн. Удмуртского ун-та. Математики, Механика, Компьютерные науки. 2024. Т. 34, № 1. С. 80–90.
     
  10. Сергеев И. Н. Полный набор соотношений между показателями колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2015. Т. 46, № 2. С. 171–183.
     
  11. Сергеев И. Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 2016. № 31. С. 177–219.
     
  12. Сергеев И. Н. Показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат. заметки. 2016. Т. 99, № 5. С. 732–751.
     
  13. Сергеев И. Н. Определение показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости нелинейных дифференциальных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, Механика. 2021. № 3. С. 41–46.
     
  14. Сергеев И. Н. Полные свойства блуждаемости, колеблемости и вращаемости дифференциальной системы и их связь с мерами этих свойств // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2025. Т. 65. С. 72–84.
     
  15. Сергеев И. Н. Определение и свойства мер колеблемости, блуждаемости и вращаемости дифференциальной системы // Мат. заметки. 2025. Т. 117, № 2. С. 305–314.
     
  16. Сергеев И. Н. О различных радиальных свойствах дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2025. Т. 61, № 5. С. 596–605.
     
  17. Сергеев И. Н. Радиальная устойчивость и неустойчивость дифференциальной системы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, Механика. 2025. № 2. С. 83–88.
     
  18. Бондарев А. А. Примеры дифференциальных систем с контрастными сочетаниями радиальной устойчивости и неустойчивости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, Механика. 2025. № 2. С. 36–43. 
     
  19. Бондарев А. А., Сергеев И. Н. Примеры дифференциальных систем с контрастными сочетаниями ляпуновских, перроновских и верхнепредельных свойств // Докл. АН. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 506. С. 25–29.
     
  20. Сергеев И. Н. Примеры автономных дифференциальных систем с контрастными сочетаниями мер ляпуновской, перроновской и верхнепредельной устойчивости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, Механика. 2024. № 1. С. 50–54.
     
  21. Бондарев А. А. Пример полной, но не глобальной неустойчивости по Перрону // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика Механика. 2021. № 2. С. 43–47.
     
  22. Бондарев А. А. Пример дифференциальной системы с перроновской и верхнепредельной полной неустойчивостью, но массивной частной устойчивостью // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58, № 2. С. 147–152.
     
  23. Бондарев А. А. Существование вполне неустойчивой по Ляпунову дифференциальной системы, обладающей перроновской и верхнепредельной массивной частной устойчивостью // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, № 6. С. 858–859.
     
  24. Бондарев А. А. Пример глобально неустойчивой по Ляпунову системы с перроновской и верхнепредельной глобальной устойчивостью // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58, № 6. С. 860–861.
     
  25. Бондарев А. А. Три контрпримера двумерных автономных дифференциальных систем с тотальными радиальными свойствами // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 11. С. 1573–1574.
     
  26. Бондарев А. А. Многомерная автономная дифференциальная система, обладающая единичной мерой неустойчивости, но массивной частной устойчивостью // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 8. С. 1011–1020.
     
  27. Денисов Н. В., Васильев В. Д. Реализуемость неединичной суммы мер устойчивости и неустойчивости дифференциальной системы и их непрерывность по начальному моменту // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 11. С. 1574–1575.
     
  28. Гаргянц А. Г. Возможные значения меры перроновской устойчивости линейных дифференциальных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика Механика. 2025. № 5. С. 64–68.
     
  29. Васильев В. Д. Реализуемость произвольной зависимости меры устойчивости дифференциальной системы от начального момента // Дифференц. уравнения. 2025. Т. 61, № 11. С. 1572–1573.
     
  30. Денисов Н. В. Пример системы с единичной мерой устойчивости и тотальной радиальной неустойчивостью // Дифференц. уравнения. 2025. Т. 61, № 11. С. 1573–1574.
     
  31. Горицкий А. Ю., Фисенко Т. Н. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 4. С. 479–486.
     
  32. Смоленцев М. В. Существование периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 11. С. 1571–1572.
     
  33. Бурлаков Д. С., Цой С. В. Совпадение полной и векторной частот решений линейной автономной системы // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 2014. № 30. С. 75–93.
     
  34. Кокушкин В. И. Характеристики колеблемости и вращаемости решений линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 10. С. 1406–1407.
     
  35. Миценко В. В. О границах блуждаемости и колеблемости решений двумерных треугольных дифференциальных систем и линейных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 6. С. 851–852.
     
  36. Лысак М. Д. Оценки скорости блуждания решений некоторых типов систем линейных дифференциальных уравнений // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2015. Т. 46, № 2. С. 106–111.
     
  37. Барабанов Е. А., Войделевич А. С. Спектры верхних частот Сергеева нулей и знаков линейных дифференциальных уравнений // Докл. НАН Беларуси. 2016. Т. 60, № 1. С. 24–31.
     
  38. Быков В. В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 4. С. 419–425.
     
  39. Шишлянников Е. М. Существование двумерной ограниченной системы с континуальными и совпадающими спектрами частот и показателей блуждаемости // Мат. сборник. 2018. Т. 209, № 12. С. 149–164.
     
  40. Сташ А. Х., Аллахвердян А. А., Артисевич А. Е., Лобода Н. А. О нулевых спектрах характеристик колеблемости Сергеева уравнения Эйлера // Динамические системы. 2020. Т. 10, № 2. С. 216–224.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (проект № 075-03-2026-395).

Сергеев Игорь Николаевич (ORCID 0000-0001-8976-0732)
  1. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 
    Ленинские горы, 1, Москва 119991

E-mail: igniserg@gmail.com 

Статья поступила 12 декабря 2025 г.
После доработки — 12 декабря 2025 г.
Принята к публикации 15 декабря 2025 г.