Гипонормальные измеримые операторы, присоединенные к полуконечной алгебре фон Неймана. IV

Гипонормальные измеримые операторы, присоединенные к полуконечной алгебре фон Неймана. IV

Бикчентаев А. М.
Сибирский математический журнал, 67, 1, 15-23 (2026)
Скачать статью

УДК 517.983:517.986 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.102

Аннотация:

Пусть $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана $\mathscr{M}$. Для нормального оператора $A$ из $\mathscr{M}$ найдено условие на $\tau$-интегрируемый оператор $B$, при выполнении которого оператор $A+B$ нормален. Для $\tau$-интегрируемого с квадратом оператора в терминах следовых неравенств установлены эквивалентные условия его нормальности. Для оператора из $\mathscr{M}$ найден критерий гипонормальности в терминах следовых неравенств. Показано, что произвольная натуральная степень произведения $PQ$ проекторов $P$ и $Q$ из $\mathscr{M}$ гипонормальна тогда и только тогда, когда $PQ = QP$. Получены операторные неравенства для степеней гипонормальных сжатий. Показано, что любая натуральная степень гипонормальной частичной изометрии является гипонормальной частичной изометрией с тем же начальным пространством.

Литература:
  1. Akhmadiev M., Alhasan H., Bikchentaev A., Ivanshin P. Commutators and hyponormal operators on a Hilbert space // J. Iran. Math. Soc. 2023. V. 4, N 1. P. 67–78.
     
  2. Bogdanović K. A class of norm inequalities for operator monotone functions and hyponormal operators // Complex Anal. Oper. Theory. 2024. V. 18, N 2. Paper No. 32, 12 p.
     
  3. Fu Y., Cui P., Zu Ch., Lu Y. The hyponormal block dual Toeplitz operators // J. Math. Res. Appl. 2025. V. 45, N 3. P. 377–394.
     
  4. Uchiyama A. Decomposition of hyponormal operator // Nihonkai Math. J. 2023. V. 34, N 2. P. 91–102.
     
  5. Ramesh G., Sequeira S. S. Representation and normality of hyponormal operators in the closure of AN-operators // Acta Math. Hung. 2024. V. 174, N 2. P. 341–359.
     
  6. Bala N., Ramesh G. A representation of hyponormal absolutely norm attaining operators // Bull. Sci. Math. 2021. V. 171. Paper No. 103020, 15 pp.
     
  7. Gu C., Hendricks J., Rutherford D. Hyponormality of block Toeplitz operators // Pacif. J. Math. 2006. V. 223, N 1. P. 95–111.
     
  8. Chõ M., Itoh M. Putnam’s inequality for p-hyponormal operators // Proc. Am. Math. Soc. 1995. V. 123, N 8. P. 2435–2440.
     
  9. Curto R. E., Hwang I. S., Lee W. Y. Hyponormality and subnormality of block Toeplitz operators // Adv. Math. 2012. V. 230. P. 2094–2151.
     
  10. Duggal B. P. On $p$-hyponormal contractions // Proc. Am. Math. Soc. 1995. V. 123, N 1. P. 81–86.
     
  11.  Бикчентаев А. М. О нормальных $\tau$-измеримых операторах, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Мат. заметки. 2014. Т. 96, № 3. С. 350–360.
     
  12. Bikchentaev A. M. Paranormal measurable operators affiliated with a semifinite von Neumann algebra // Lobachevskii J. Math. 2018. V. 39, N 6. P. 731–741.
     
  13. Bikchentaev A. Paranormal measurable operators affiliated with a semifinite von Neumann algebra. II // Positivity. 2020. V. 24, N 5. P. 1487–1501.
     
  14. Бикчентаев А. М. К теории $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана. II // Математика и теоретические компьютерные науки. 2023. Т. 1, № 2. С. 3–11.
     
  15. Bikchentaev A. M. Concerning the theory of $\tau$-measurable operators affiliated to a semifinite von Neumann algebra. II // Lobachevskii J. Math. 2023. V. 44, N 10. P. 4507–4511.
     
  16. Bikchentaev A. Hyponormal measurable operators, affiliated to a semifinite von Neumann algebra // Adv. Oper. Theory. 2024. V. 9, N 4. Paper No. 83, 17 pp.
     
  17. Бикчентаев А. М. Гипонормальные измеримые операторы, присоединенные к полуконечной алгебре фон Неймана // Сиб. мат. журн. 2025. Т. 66, № 3. С. 396–405.
     
  18. Bikchentaev A. Hyponormal measurable operators, affiliated to a semifinite von Neumann algebra. III // Methusalem Seminars at Ghent Analysis and PDE Center. Extended Abstracts 2023/2024. Basel: Birkhäuser, 2026.
     
  19. Бикчентаев А. М. Неравенства для следа и измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Изв. вузов. Математика. 2025. № 1. С. 99–104.
     
  20. Dehimi S., Mortad M. H. Unbounded operators having self-adjoint, subnormal, or hyponormal powers // Math. Nachr. 2023. V. 296, N 9. P. 3915–3928.
     
  21. Муратов М. А., Чилин В. И. Топологические алгебры измеримых и локально измеримых операторов // Современная математика. Фундаментальные направления. 2016. Т. 61. С. 115–163.
     
  22. Takesaki M. Theory of operator algebras. I. Encyclopaedia of mathematical sciences, 124. Operator algebras and non-commutative geometry, 5. Berlin: Springer-Verl., 2002.
     
  23. Dodds P. G., de Pagter B., Sukochev F. A. Noncommutative integration and operator theory. Cham: Birkhäuser, 2023. (Progress in Mathematics. V. 349).
     
  24. Takesaki M. Theory of operator algebras. II. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 125. Operator Algebras and Non-commutative Geometry, 6. Berlin: Springer-Verl., 2003.
     
  25. Fack T., Kosaki H. Generalized $s$-numbers of $\tau$-measurable operators // Pacific J. Math. 1986. V. 123, N 2. P. 269–300.
     
  26. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.
     
  27. Brown L. G., Kosaki H. Jensen’s inequality in semifinite von Neumann algebra // J. Operator Theory. 1990. V. 23, N 1. P. 3–19.
     
  28. Kittaneh F. A note on hyponormal operators // Math. Rep. Toyama Univ. 1986. V. 9. P. 105–107.
     
  29. Chilin V. I., Krygin A. V., Sukochev Ph. A. Extreme points of convex fully symmetric sets of measurable operators // Integral Equations Operator Theory. 1992. V. 15, N 2. P. 186–226.
     
  30. Бикчентаев А. М. След и интегрируемые коммутаторы измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 3. С. 455–468.
     
  31. Hansen F. An operator inequality // Math. Ann. 1979/80. V. 246, N 3. P. 249–250.
     
  32. Halmos P. R. A Hilbert space problem book. Sec. Ed.. Berlin: Springer-Verl., 1982.
     
  33. Bikchentaev A. M., Moslehian M. S. On pairs of projections // Positivity. 2025. V. 29, N 4. Paper No. 47. 13 pp. 
     
  34. Strătilă S. V., Zsidó L. Lectures on von Neumann algebras. 2nd edition. Delhi: Camb. Univ. Press, 2019. (Cambridge IISc Series).
     
  35. Мерфи Дж. $C^∗$ -алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997.
     
  36. Шерстнев А. Н. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла. М.: Физматлит, 2008.

Работа выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2025-1725/1).

Бикчентаев Айрат Мидхатович (ORCID 0000-0001-5992-3641)
  1. Казанский (Приволжский) федеральный университет, 
    ул. Кремлевская, 18, Казань 420008

E-mail: Airat.Bikchentaev@kpfu.ru

Статья поступила 27 июля 2025 г.
После доработки — 2 сентября 2025 г.
Принята к публикации 26 сентября 2025 г.