О π-мощности некоторых разрешимых групп

О $\pi$-мощности некоторых разрешимых групп

Азаров Д. Н.

УДК 512.543 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.501


Аннотация:

Пусть $\pi$ — множество простых чисел. Группа $G$ называется $\pi$-мощной, если для любого элемента $a \in G$ и для любого целого $\pi$-числа $n > 0$, делящего порядок элемента $a$, существует гомоморфизм группы $G$ на конечную группу, переводящий элемент $a$ в элемент порядка $n$. Доказано, что если $G$ — конечно порожденная метабелева группа (или финитно аппроксимируемая абелева группа, или финитно аппроксимируемая нильпотентная группа конечного ранга, или финитно аппроксимируемая метабелева FATR-группа), то для группы $G$ следующие утверждения равносильны: (1) группа $G$ является $\pi$-мощной; (2) в группе $G$ нет $p$-полных элементов бесконечного порядка ни для какого числа $p$ из $\pi$; (3) группа $G$ является почти $\pi$-мощной. Доказано также, что если $G$ — финитно аппроксимируемая разрешимая FATR- группа (или конечно порожденная группа, являющаяся расширением абелевой группы с помощью полициклической), то для группы $G$ равносильны условия (2) и (3).

Литература:
  1. Allenby R. B. J. T. The potency of cyclically pinched one-relator groups // Arch. Math. 1981. V. 36. P. 204–210. 
     
  2. Hartley B., Lennox J. C., Rhemtulla A. H. Cyclically separated groups // Bull. Austral. Math. Soc. 1982. V. 26. P. 355–384.
     
  3. Poland J. Finite potent groups // Bull. Austral. Math. Soc. 1981. V. 23, N 1. P. 111–120.
     
  4. Wong P. C., Tang C. K., Gan H. W. Weak potency of fundamental groups of graphs of groups // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 2010. V. 33, N 2. P. 243–251.
     
  5. Азаров Д. Н. О слабой $\pi$–мощности некоторых групп и свободных произведений // Сиб. мат. журн. 2020. Т. 61, № 6. С. 1199–1211.
     
  6. Азаров Д. Н. О почти мощности некоторых групп и свободных конструкций // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 6. С. 1189–1203.
     
  7. Азаров Д. Н. О почти мощности групп автоморфизмов и расщепляемых расширений // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 6. С. 1119–1130.
     
  8. Азаров Д. Н. О $\pi$-мощности нисходящих НNN-расширений групп // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 5. С. 775–784.
     
  9. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. V. 7, N 1. P. 29–62.
     
  10. Hirsh K. A. On infinite soluble groups (IV) // J. London Math. Soc. 1952. V. 27. P. 81–85.
     
  11. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Уч. зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т. 18, № 5. С. 49–60.
     
  12. Lennox J., Robinson D. The theory of infinite soluble groups. Oxford: Clarendon press, 2004.
     
  13. Мальцев А. И. О группах конечного ранга // Мат. сб. 1948. Т. 22, № 2. С. 351–352.
     
  14. Азаров Д. Н. Аппроксимируемость разрешимых групп конечного ранга некоторыми классами конечных групп // Изв. вузов. Математика. 2014. № 8. С. 18–29.
     
  15. Wehrfritz, B. A. F. Remarks on Azarov’s work on soluble groups of finite rank // Boll. Unione Mat. Ital. 2016. V. 9, N 3. P. 319–322.
     
  16. Lubotzky A., Mann A. Residually finite groups of finite rank // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1989. V. 106, N 3. P. 385–388.
     
  17. Соколов Е. В. Некоторые аппроксимационные свойства ограниченных нильпотентных групп и их древесных произведений // Изв. вузов. Математика. 2025. № 4. С. 60–70.

Исследование выполнено за счет гранта по приоритетным направлениям деятельности РНФ «Аппроксимационные свойства групп» (2025–2026).


Азаров Дмитрий Николаевич
  1. Ивановский государственный университет, 
    ул. Ермака, 39, Иваново 153025

E-mail: azarovdn@mail.ru

Статья поступила 22 марта 2025 г.
После доработки — 10 июля 2025 г.
Принята к публикации 25 июля 2025 г.