Релаксация в задаче оптимального управления, описываемой связанной системой с максимально монотонными операторами

Релаксация в задаче оптимального управления, описываемой связанной системой с максимально монотонными операторами

Толстоногов А. А.

УДК 517.911.5+517.977.57 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.212


Аннотация:

Изучается задача минимизации интегрального функционала на решениях связанной системы. Система состоит из эволюционного включения в сепарабельном гильбертовом пространстве с максимально монотонными операторами и обыкновенного дифференциального уравнения в сепарабельном банаховом пространстве, содержащего управление. Ограничением на управление является многозначное отображение с замкнутыми невыпуклыми значениями, а интегрант является невыпуклой по управлению функцией. Наряду с исходной задачей рассматривается задача минимизации интегрального функционала с овыпукленным по управлению интегрантом на решениях системы с овыпукленным ограничением на управление (релаксационная задача). 

Доказаны теоремы существования решения систем. Рассмотрены вопросы аппроксимации как решений овыпукленной системы, так и значений овыпукленного функционала на решениях овыпукленной системы решениями исходной системы и значениями исходного функционала на решениях исходной системы (теорема релаксации). Доказана теорема существования оптимального управления в релаксационной системе.

Литература:
  1. Brezis H. Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractious dans les espaces de Hilbert. North-Holland, Amsterdam; London: Elsevier, 1973.
     
  2. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.
     
  3. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
     
  4. Alexiewicz A. Linear functionals on Denjoy integrable functions // Colloq. Math. 1948. V. 1. P. 289–293.
     
  5. Толстоногов А. А. Релаксация в невыпуклых задачах оптимального управления, описываемых эволюционными уравнениями первого порядка // Мат. сб. 1999. Т. 190, № 11. С. 135–160.
     
  6. Толстоногов А. А. Теорема Боголюбова при ограничениях, порожденных эволюцион- ной управляемой системой второго порядка // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. Т. 67, № 5. С. 177–206.
     
  7. Толстоногов А. А. Вариационная устойчивость задач оптимального управления с субдифференциальными операторами // Мат. сб. 2011. Т. 202, № 4. С. 123–160.
     
  8. Tolstonogov A. A. Relaxation in nonconvex optimal control problems containing the difference of two subdifferentials // SIAM J. Contr. Optim. 2016. V. 54, N 1. P. 175–197.
     
  9. Толстоногов А. А. Теорема Н. Н. Боголюбова для управляемой системы, связанной с вариационным неравенством // Изв. РАН. Сер. мат. 2020. Т. 84, № 6. С. 165–196.
     
  10. Brokate M., Krejci P. Optimal control of ODE systems involving a rate independent variational inequality // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2013. V. 18, N 2. P. 331–348.
     
  11. Adam L., Outrata J. On optimal control of a sweeping process coupled with an ordinary differential equation // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2014. V. 19, N 9. P. 2709–2738.
     
  12. Bouhali N., Azzam-Laouir D., Monteiro M.M.D.P. Optimal control of an evolution problem involving time-dependent maximal monotone operators // J. Optimiz. Theory Appl. 2022. V. 194. P. 59–91.
     
  13. Himmelberg C. J. Measurable relations // Fundam. Math. 1975. V. 87. P. 53–72.
     
  14. Tolstonogov A. A. Upper semicontinuous convex-valued selectors of a Nemytskii operator with nonconvex values and evolution inclusions with maximal monotone operators // J. Math. Anal. Appl. 2023. V. 526. P. 127–197.
     
  15. Hiai F., Umegaki H. Integrals, conditional expectations, and martingales of multivalued functions // J. Multivariate Anal. 1977. V. 7, N 1. P. 149–182.
     
  16. Tolstonogov A. A. Existence and relaxation theorems for extreme continuous selectors of multifunctions with decomposable values // Topology Appl. 2008. V. 155, N 8. P. 898–905.
     
  17. Филатов А. Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 
     
  18. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 
     
  19. Толстоногов А. А. Теоремы сравнения для эволюционных включений с максимально монотонными операторами. $L^2$-теория // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 6. С. 110–135.
     
  20. Moreau J. J. Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert space // J. Differ. Equ. 1977. V. 26. P. 347–374.
     
  21. Толстоногов А. А. Расстояния между максимально монотонными операторами // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 4. С. 815–829.
     
  22. Vladimirov A. A. Nonstationary dissipative evolution equations in a Hilbert space // Nonlinear Analysis, Theory, Meth. Appl. 1991. V. 17, N 6. P. 499–518.

Толстоногов Александр Александрович (ORCID 0000-0002-4758-2197)
  1. Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН
    ул. Лермонтова, 134, Иркутск 664033

E-mail: aatol@icc.ru, alexander.tolstonogov@gmail.com

Статья поступила 25 декабря 2024 г.
После доработки — 25 декабря 2024 г.
Принята к публикации 25 февраля 2025 г.