Задачи теории управления и теорема Рашевского — Чоу на группе Картана

Задачи теории управления и теорема Рашевского — Чоу на группе Картана

Грешнов А. В., Жуков Р. И.
Сибирский математический журнал, 65, 5, 901-920 (2024)
Скачать статью

УДК 517 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.510

Аннотация:

Рассматривается задача управления нелинейными 5-мерными системами, индуцированными горизонтальными векторными полями $X, Y , [·, ·]$-порождающими алгебру Картана, линейно зависящими от двух кусочно-постоянных управлений. Изучены свойства решений таких систем. Решение интерпретируется как горизонтальная $k$-ломаная $L_k$ на канонической группе Картана $\mathbb {K}$, где звенья ломаной $L_k$ — отрезки интегральных линий векторных полей вида $aX +bY$, $a, b = const$. На $\mathbb {K}$ доказано, что минимальное число $N_\mathbb {K}$ такое, что любые две точки $u, v \in \mathbb {K}$ соединяются $L_k$, $k \le N_\mathbb {K}$, равно 4. Таким образом, получена наилучшая версия теоремы Рашевского — Чоу на группе Картана. Доказано, что минимальное число звеньев замкнутой горизонтальной ломаной на $\mathbb {K}$ равно 6.

Литература:
  1. Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005.
     
  2. Hörmander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math. 1967. V. 119. P. 147–171.
     
  3. Gromov M. Carnot–Carathéodory spaces seen from within // Sub-Riemannian geometry (Prog. Math., 144). Basel: Birkhäuser, 1996. P. 79–323.
     
  4. Agrachev A., Barilari D., Boscain U. A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2020.
     
  5. Bonfiglioli A., Lanconelli E., Uguzzoni F. Stratified Lie groups and potential theory for their sub-Laplacian. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 2007.
     
  6. Pansu P. Métriques de Carnot–Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un // Ann. Math. 1989. V. 129. P. 1–60.
     
  7. Водопьянов С. К. Геометрия пространств Карно — Каратеодори, квазиконформный анализ и геометрическая теория меры // Владикавк. мат. журн. 2003. Т. 5, № 1. С. 14–34.
     
  8. Грешнов А. В. Геометрия cc-шаров и константы в теореме Ball-Box на группалгебрах Гейзенберга // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 5. С. 1040–1058.
     
  9. Берестовский В. Н. Универсальные методы поиска нормальных геодезических на группах Ли с левоинвариантной субримановой метрикой // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 5. С. 959–970.
     
  10. Берестовский В. Н., Зубарева И. А. Экстремали левоинвариантной субфинслеровой метрики на группе Энгеля // Сиб. мат. журн. 2020. Т. 61, № 4. С. 735–751.
     
  11. Берестовский В. Н., Зубарева И. А. Анормальные экстремали левоинвариантных субфинслеровых квазиметрик на четырехмерных группах Ли // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 3. С. 481–501.
     
  12. Берестовский В. Н., Зубарева И. А. Анормальные экстремали левоинвариантных субфинслеровых квазиметрик на четырехмерных группах Ли c трехмерными порождающими распределениями // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 4. С. 748–767.
     
  13. Ardentov A., Le Donne E., Sachkov Yu. A sub-Finsler problem on the Cartan group // Proc. Steklov Inst. Math. 2019. V. 304. P. 42–59.
     
  14. Ardentov A. A., Sachkov Yu. L. Maxwell strata and cut locus in the sub-Riemannian problem on the Engel group // Regular and Chaotic Dynamics. 2017. V. 22, N 8. P. 909–936.
     
  15. Ардентов А. А., Сачков Ю. Л. Экстремальные траектории в нильпотентной субримановой задаче на группе Энгеля // Мат. сб. 2011. Т. 202, № 11. С. 31–54.
     
  16. Сачков Ю. Л., Сачкова Е. Ф. Анормальное множество для (2, 3, 5, 8)-распределения // Мат. заметки. 2021. Т. 109, № 2. С. 318–320.
     
  17. Mashtakov A. P. Algorithms and software solving a motion planning problem for nonholonomic five-dimensional control systems // Progr. Syst.: Theory Appl. 2012. V. 3. P. 3–29.
     
  18. Сачков Ю. Л., Ардентов А. А., Маштаков А. П. Конструктивное решение задачи управления на основе метода нильпотентной аппроксимации // Программные системы: теория и приложения (Труды международной конференции «Программные системы: теория и приложения», ИПС им. А. К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, май 2009). Переславль-Залесский: Университет города Переславля, 2009. Т. 1. С. 5–23.
     
  19. Sachkov Yu. L. Sub-Riemannian Cartan sphere // Dokl. Math. 2022. V. 106, N 3. P. 462–466.
     
  20. Monti R., Pigati A., Vittone D. Existence of tangent lines to Carnot–Carath´eodory geodesics // Calc. Var. 2018. V. 57. P. 57–75.
     
  21. Грешнов А. В. О равномерных и NT A-областях на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 5. С. 1018–1035.
     
  22. Грешнов А. В., Жуков Р. И. Горизонтальная соединимость на канонической 3-ступенчатой группе Карно с горизонтальным распределением коранга 2 // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 4. С. 736–746.
     
  23. Greshnov A. V. Optimal horizontal joinability on the Engel group // Atti Accad. Naz. dei Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. Rend. Lincei Mat. Appl. 2021. V. 32, N 3. P. 535–547.
     
  24. Грешнов А. В. Метод Аграчева — Барилари — Боскайна и оценки числа звеньев горизонтальных ломаных, соединяющих точки в канонической группе Карно $G_{3,3}$ // Оптимальное управление и динамические системы. К 95-летию академика Реваза Валериановича Гамкрелидзе. Тр. МИАН. М.: МИАН, 2023. Т. 321. С. 108–117.
     
  25. Грешнов А. В., Жуков Р. И. Горизонтальная соединимость на 5-мерной 2-ступенчатой группе Карно с горизонтальным распределением коразмерности 2 // Алгебра и логика. 2023. Т. 62, № 2. С. 205–218.
     
  26. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
     
  27. Постников М. М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.
     
  28. Capogna L., Garofalo N. Non tangentially accessible domains for Carnot–Carathéodory metrics and a Fatou type theorem // C. R. Acad. Sci. Paris. Sér. I Math. 1995. V. 321, N 12. P. 1565–1570.
     
  29. Capogna L., Garofalo N. Boundary behavior of nonnegative solutions of subelliptic equations in NT A-domains for Carnot–Carathéodory metrics // J. Fourier Anal. Appl. 1998. V. 4, N 4–5. P. 403–432.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН проект FWNF-2022- 0006.

Грешнов Александр Валерьевич (ORCID 0000-0002-1218-2767)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: greshnov@math.nsc.ru

Жуков Роман Иванович (ORCID 0009-0007-0251-4995)
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

E-mail: eifromdc@yandex.ru

Статья поступила 10 июня 2024 г.
После доработки — 4 июля 2024 г.
Принята к публикации 20 августа 2024 г.