Обратная задача для нелинейного уравнения переноса

Обратная задача для нелинейного уравнения переноса

Романов В. Г.
Сибирский математический журнал, 65, 5, 1022-1028 (2024)
Скачать статью

УДК 517.957 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.518

Аннотация:

Рассматривается нелинейное уравнение переноса, содержащее две нелинейности и коэффициент $q(x)$ при младшем нелинейном члене, зависящий от двух или трех пространственных переменных. Изучается прямая задача для этого уравнения с данными на части боковой поверхности цилиндрической области. Решение строится в явном виде. Доказывается единственность решения. Ставится задача нахождения коэффициента $q(x)$ по некоторой информации о решении прямой задачи. Показывается, что обратная задача редуцируется к задаче рентгеновской томографии. Это открывает путь ее эффективного численного решения.

Литература:
  1. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations // Invent. Math. 2018. V. 212. P. 781–857.
     
  2. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds // Commun. Math. Phys. 2018. V. 360. P. 555–609.
     
  3. Lassas M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations // Proc. Internat. Congress Math. 2018. V. 3. P. 3739–3760.
     
  4. Hintz P., Uhlmann G. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets // Internat. Math. Res. Notices. 2019. V. 22. P. 6949–6987.
     
  5. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds // Internat. Math. Res. Notices. 2022. V. 17. P. 13181–13211.
     
  6. Uhlmann G., Zhai J. On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation // J. Math. Pures Appl. 2021. V. 153. P. 114–136.
     
  7. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations // Commun. Partial Differ. Equ. 2019. V. 44, N 11. P. 1140–1158.
     
  8. Barreto A. S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions // Inverse Probl. Imaging. 2020. V. 14, N 6. P. 1057–1105.
     
  9. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly nonlinear regime // Commun. Math. Phys. 2022. V. 392. P. 25–53.
     
  10. Lassas M., Liimatainen T., Potenciano-Machado L., Tyni T. Uniqueness and stability of an inverse problem for a semi-linear wave equation // J. Differ. Equ. 2022. V. 337. P. 395–435.
     
  11. Barreto A. S., Uhlmann G., Wang Y. Inverse scattering for critical semilinear wave equations // Pure Appl. Anal. 2022. V. 4, N 2. P. 191–223.
     
  12. Романов В. Г. Обратная задача для волнового уравнения с нелинейным поглощением // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 3. С. 635–652.
     
  13. Романов В. Г. Оценка устойчивости в обратной задаче для нелинейного гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 3. С. 560–576.
     
  14. Романов В. Г. Обратная задача для волнового уравнения с двумя нелинейными членами // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 4. С. 508–520.
     
  15. Romanov V. G., Bugueva T. V. An inverse problem for a nonlinear hyperbolic equation // Eurasian J. Math. Comp. Appl. 2024. V. 12, N 2. P. 134–154.
     
  16. Романов В. Г. Одномерная обратная задача для нелинейных уравнений электродинамики // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59, № 10. С. 1397–1411.
     
  17. Radon J. Über die bestimmung von funktionen durch ihre integralwerte längs gewisser mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften. 1917. Bd 29. S. 262–277. 
     
  18. Cormack A. M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications // J. Appl. Physics. 1963. V. 34. P. 2722–2727.
     
  19. Cormack A. M. Early two-dimensional reconstruction and recent topics stemming from it // Nobel lectures in physiology or medicine 1971–1980. Singapore: World Sci. Publ. Co., 1992. P. 551–563.
     
  20. Deans S. R. The Radon transform and some of its applications. New York: John Wiley & Sons, 1983.
     
  21. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.
     
  22. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022- 0009).

Романов Владимир Гаврилович (ORCID 0000-0002-5426-4277)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: romanov@math.nsc.ru

Статья поступила 29 июля 2024 г.
После доработки — 30 июля 2024 г.
Принята к публикации 20 августа 2024 г.