Обобщение теоремы Артина об изотопности замкнутых кос. I

Обобщение теоремы Артина об изотопности замкнутых кос. I

Малютин А. В.
Сибирский математический журнал, 65, 3, 524-532 (2024)
Скачать статью

УДК 515.162.8+515.145.2+515.148 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.307

Аннотация:

Восходящая к работам Артина классическая теорема теории кос гласит, что замкнутые косы в полнотории объемлемо изотопны, если и только если они представляют один и тот же класс сопряженности группы кос. Эта теорема допускает переформулировку в рамках теории узлов и зацеплений без обращения к групповой структуре. В трехмерном многообразии, локально тривиально расслоенном над окружностью, зацепление назовем трансверсальным, если сужение расслоения на это зацепление является накрытием базы. В таком ракурсе теорема Артина утверждает, что в полнотории, тривиально расслоенном над окружностью, трансверсальные зацепления объемлемо изотопны, если и только если они изотопны в классе трансверсальных зацеплений. В статье обобщается этот результат и доказывается (в кусочно-линейной категории), что в произвольном компактном ориентируемом трехмерном многообразии, локально тривиально расслоенном над окружностью со слоем компактная поверхность, трансверсальные зацепления объемлемо изотопны, если и только если они изотопны в классе трансверсальных зацеплений.

Литература:
  1. Artin E. Theorie der Zöpfe // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1925. V. 4. P. 47–72.
     
  2. Morton H. R. Infinitely many fibred knots having the same Alexander polynomial // Topology. 1978. V. 17. P. 101–104.
     
  3. Burde G., Zieschang H. Knots. Berlin: Walter de Gruyter, 1985. (de Gruyter Studies in Math.; V. 5).
     
  4. Kassel C., Turaev V. Braid groups. New York: Springer, 2008. (Grad. Texts Math.; V. 247).
     
  5. Grant M., Sienicka A. Isotopy and homeomorphism of closed surface braids // Glasgow Math. J. 2021. V. 63, N 4. P. 297–306.
     
  6. Thurston W. P. A norm for the homology of 3-manifolds // Mem. Am. Math. Soc. 1986. V. 339. P. 99–130.
     
  7. Waldhausen F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large // Ann. Math. (2). 1968. V. 87. P. 56–88. 
     
  8. Малютин А. В. Расслоения Бирман — Хильдена I // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 1. С. 125–139.
     
  9. Малютин А. В. Расслоения Бирман — Хильдена II // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 2. С. 360–375.
     
  10. Hatcher A. Homeomorphisms of sufficiently large $P^2$ -irreducible 3-manifolds // Topology. 1976. V. 15, N 4. P. 343–347.
     
  11. Epstein D. B. A. Curves on 2-manifolds and isotopies // Acta Math. 1966. V. 115. P. 83–107.
     
  12. Wall C. T. C. Locally flat $PL$ submanifolds with codimension two // Proc. Camb. Phil. Soc. 1967. V. 63. P. 5–8.
     
  13. Hudson J. F. P., Zeeman E. C. On combinatorial isotopy // Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 1964. V. 19. P. 69–94.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00299, https://rscf.ru/project/22-11-00299/.

Малютин Андрей Валерьевич (ORCID 0000-0002-4512-0124)
  1. Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, 
    ул. Губкина, 8, Москва 119991
  2. Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН, 
    наб. р. Фонтанки, 27, Санкт-Петербург 191023

E-mail: malyutin@pdmi.ras.ru

Статья поступила 3 августа 2023 г.
После доработки — 27 ноября 2023 г.
Принята к публикации 28 ноября 2023 г.