Верхние оценки объемов обобщенных гиперболических многогранников и зацеплений

Верхние оценки объемов обобщенных гиперболических многогранников и зацеплений

Веснин А. Ю., Егоров А. А.
Сибирский математический журнал, 65, 3, 469-488 (2024)
Скачать статью

УДК 514.132+515.162 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.304

Аннотация:

Многогранник в трехмерном гиперболическом пространстве называется обобщенным, если его вершины могут быть конечными, идеальными или усеченными. В силу теоремы Беллетти (2021) верхняя точная грань объемов обобщенных гиперболических многогранников, имеющих один и тот же одномерный скелет $\Gamma$, достигается на идеальном прямоугольном многограннике, который называют ректификацией графа $\Gamma$. В работе получены верхние оценки для произвольных обобщенных гиперболических многогранников. Эти оценки линейно зависят от числа ребер многогранника. Более того, показано, что оценки могут быть улучшены, если многогранник имеет треугольные грани и трехвалентные вершины. В качестве приложения получены новые верхние оценки объемов гиперболических зацеплений, имеющих более восьми скручиваний в диаграмме.

Литература:
  1. Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. V. 35, N 2. P. 588–621.
     
  2. Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Геометрия–2. Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 5–146.
     
  3. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского // Мат. сб. 1970. Т. 81, № 3. С. 456–478.
     
  4. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Мат. сб. 1970. Т. 81, № 2. С. 256–260.
     
  5. Roeder R. K. W., Hubbard J. H., Dunbar W. D. Andreev’s theorem on hyperbolic polyhedra // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 2007. V. 57, N 3. P. 825–882.
     
  6. Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bul. Am. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 9–24.
     
  7. Винберг Э. Б. Объемы неевклидовых многогранников // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, № 2. С. 17–46.
     
  8. Kellerhals R. On the volume of hyperbolic polyhedra // Math. Ann. 1989. V. 285. P. 541–569.
     
  9. Kashaev R. M. The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm // Lett. Math. Phys. 1997. V. 39. P. 269–275.
     
  10. Cho Y., Kim H. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Discrete Comput. Geom. 1999. V. 22. P. 347–366.
     
  11. Murakami J., Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Commun. Anal. Geom. 2005. V. 13, N 2. P. 379-400.
     
  12. Thurston W. P. The geometry and topology of three-manifolds. Collected works of William Thurston P. with commentary. V. IV. With a preface by Kerckhoff S P. Ed. by Farb B., Gabai D. and Kerckhoff S. P. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2022.
     
  13. Belletti G. The maximum volume of hyperbolic polyhedra // Trans. Am. Math. Soc. 2021. V. 374. P. 1125–1153. 
     
  14. Atkinson C. Volume estimates for equiangular hyperbolic Coxeter polyhedra // Algebraic & geometric topology. 2009. V. 9. P. 1225–1254.
     
  15. Egorov A., Vesnin A. Ideal right-angled polyhedra in Lobachevsky space // Chebyshevskii Sb. 2020. V. 21, N 2. P. 65–83.
     
  16. Egorov A., Vesnin A. Volume estimates for right-angled hyperbolic polyhedra // Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste. 2020. V. 52. P. 565–576.
     
  17. Александров С. А., Богачев Н. В., Веснин А. Ю., Егоров А. А. Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 2. С. 3–22.
     
  18. Lackenby M. The volume of hyperbolic alternating link complements. With an appendix by I. Agol and D. Thurston // Proc. London Math. Soc. 2004. V. 88. P. 204—224.
     
  19. Dasbach O., Tsvietkova A. A refined upper bound for the hyperbolic volume of alternating links and the colored Jones polynomial // Math. Res. Let. 2015. V. 22. P. 1047–1060.
     
  20. Adams C. Bipyramids and bounds on volumes of hyperbolic links // Topology Appl. 2017. V. 222. P. 100–114. 
     
  21. Purcell J. S. Hyperbolic knot theory. Providenve, RI: Am. Math. Soc., 2020. (Graduate Stud. Math.; V. 209).
     
  22. Bao X., Bonahon F. Hyperideal polyhedra in hyperbolic 3-space // Bull. Soc. Math. France. 2002. V. 130, N 3. P. 457–491.
     
  23. Ushijima A. A volume formula for generalized hyperbolic polyhedra // Math. Appl. 2006. V. 581. P. 249–265.
     
  24. Atkinson C. Two-sided combinatorial volume bounds for non-obtuse hyperbolic polyhedra // Geomeriae Dedicata. 2011. V. 153. P. 177–211.
     
  25. Kellerhals R. A polyhedral approach to the arithmetic and geometry of hyperbolic chain link complements // J. Knot Theory Ramif. 2023. V. 32, N 7. 2350052.
     
  26. Meyer J.S., Millichap C., Trapp R. Arithmeticity and hidden symmetries of fully augmented pretzel link complements // New York J. Math. 2020. V. 26. P. 149–183.
     
  27. Brinkmann G., Greenberg S., Greenhill C., McKay B. D., Thomas R., Wollan P. Generation of simple quadrangulations of the sphere // Discrete Math. 2005. V. 305. P. 33–54.
     
  28. Bogachev N., Guschin D., Vesnin A. Arithmeticity of ideal hyperbolic right-angled polyhedra and hyperbolic link complements. https://arxiv.org/abs/2307.07000.
     
  29. Rolfsen D. Knots and links. Houston, TX, 1976. (Math. Lecture Ser.; V. 7).
     
  30. Kawauchi A. A survey of knot theory. Basel: Birkhäuser, 1996.
     
  31. SnapPy, a computer program available at https://snappy.math.uic.edu.
     
  32. Adams C. Hyperbolic structures on link complements. Ph.D. thesis. University of Wisconsin, 1983.
     
  33. Adams C. Triple crossing number of knots and links // J. Knot Theory Ramif. 2013. V. 22, N 2. 1350006.
     
  34. Dasbach O., Tsvietkova A. Simplicial volume of links from link diagrams // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2019. V. 166, N 1. P. 75–81.
     
  35. Dasbach O. T., Lin X.-S. A volumish theorem for the Jones polynomial of alternating knots // Pacific J. Math. 2007. V. 231, N 2. P. 279–291.
     
  36. Livingston C., Moore A. H. KnotInfo: table of knot invariants. Available at http://knotinfo.math.indiana.edu.
     
  37. Guéritaud F., Futer D. On canonical triangulations of once-punctured torus bundles and two-bridge link complements // Geom. Topol. 2006. V. 10. P. 1239–1284.
     
  38. Petronio C., Vesnin A. Two-sided bounds for the complexity of cyclic branched coverings of two-bridge links // Osaka J. Math. 2009. V. 46. P. 1077–1095.
     
  39. Purcell J. S. An introduction to fully augmented links // Interactions between hyperbolic geometry, quantum topology and number theory. Contemp. Math. 2011. V. 541. P. 205–220.
     
  40. Kwon A. Fully augmented links in the thickened torus. Preprint version available at https://arxiv.org/abs/2007.12773. 
     
  41. Adams C. Thrice-punctured spheres in hyperbolic 3-manifolds // Trans. Am. Math. Soc. 1985. V. 287. P. 645–656.
     
  42. Futer D., Kalfagianni E., Purcell J. S. Dehn filling, volume, and the Jones polynomial // Trans. Am. Math. Soc. 2008. V. 78, N 3. P. 429–464.

Работа выполнена при поддержке гранта Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС» и госзадания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022-0004).

Веснин Андрей Юрьевич (ORCID 0000-00001-7553-1269)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

E-mail: vesnin@math.nsc.ru

Егоров Андрей Александрович (ORCID 0009-0007-8795-8148)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
  2. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

E-mail: a.egorov2@g.nsu.ru

Статья поступила 18 июля 2023 г.
После доработки — 26 февраля 2024 г.
Принята к публикации 8 апреля 2024 г.