След и интегрируемые коммутаторы измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

След и интегрируемые коммутаторы измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

Бикчентаев А. М.
Сибирский математический журнал, 65, 3, 455-468 (2024)
Скачать статью

УДК 517.983:517.986 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.303

Аннотация:

Пусть $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана $\mathscr{M}$ , $I$ — единица $\mathscr{M}$, $S(\mathscr{M}, \tau)$ — ∗-алгебра $\tau$-измеримых операторов, $L_1(\mathscr{M}, \tau)$ — банахово пространство $\tau$-интегрируемых операторов. Получено новое доказательство следующего обобщения теоремы Путнама (1951): положительный самокоммутатор $[A∗, A] (A \in S(\mathscr{M}, \tau))$ не может иметь обратного в $\mathscr{M}$. Если след $\tau$ бесконечен, то положительный самокоммутатор $[A∗, A] (A \in S(\mathscr{M}, \tau))$ не может иметь вид $\lambda I + K$, где $\lambda$ — ненулевое комплексное число и оператор $K$ $\tau$-компактен. Пусть $A, B \in S(\mathscr{M}, \tau)$ и $[A, B] \in L_1(\mathscr{M}, \tau)$. Вопрос: при каких условиях $\tau([A, B]) = 0$? Если $X \in S(\mathscr{M}, \tau)$, $Y = Y^3 \in \mathscr{M}$ и $[X, Y] \in L_1(\mathscr{M}, \tau)$, то $\tau([X, Y]) = 0$. Если $A^2 = A \in S(\mathscr{M}, \tau)$ и $[A∗, A] \in L_1(\mathscr{M}, \tau)$, то $\tau([A∗, A]) = 0$. Если частичная изометрия $U$ принадлежит $\mathscr{M}$ и $U^n = 0$ для некоторого целого $n \ge 2$, то оператор $U^{n−1}$ является коммутатором, и если $U^{n−1} \in L_1(\mathscr{M}, \tau)$, то $\tau(U^{n−1}) = 0$.

Литература:
  1. Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный анализ в задачах. М.: Наука, 1969.
     
  2. Albert A. A., Muckenhoupt B. On matrices of trace zeros // Michigan Math. J. 1957. V. 4, N 1. P. 1–3.
     
  3. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.
     
  4. Johnson W. B., Ozawa N., Schechtman G. A quantitative version of the commutator theorem for zero trace matrices // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2013. V. 110, N 48. P. 19251–19255.
     
  5. Angel O., Schechtman G. The Hilbert–Schmidt version of the commutator theorem for zero trace matrices // Bull. Lond. Math. Soc. 2015. V. 47, N 4. P. 715–719.
     
  6. Wang D.-G., Zhang J. J., Zhuang G. Coassociative Lie algebras // Glasgow Math. J. 2013. V. 55, N A. P. 195–215. 
     
  7. Ravichandran M., Srivastava N. Asymptotically optimal multi-paving // Int. Math. Res. Not. 2021. V. 2021, N 14. P. 10908–10940.
     
  8. Robinson D. W. Matrices with zero trace as commutators of nilpotents // Linear multilinear algebra. 1977. V. 5, N 1. P. 45–51.
     
  9. Brown A., Pearcy C. Structure of commutators of operators // Ann. Math. (2). 1965. V. 82, N 1. P. 112–127.
     
  10. Bikchentaev A. Commutators in $C∗$-algebras and traces // Ann. Funct. Anal. 2023. V. 14, N 2. Paper No. 42, 14 pp.
     
  11. Fan P. On the diagonal of an operator // Trans. Am. Math. Soc. 1984. V. 283, N 1. P. 239–251.
     
  12. Fan P., Fong C. K. Which operators are the self-commutators of compact operators? // Proc. Am. Math. Soc. 1980. V. 80, N 1. P. 58–60.
     
  13. Fan P., Fong C. K., Che K., Herrero D. A. On zero-diagonal operators and traces // Proc. Am. Math. Soc. 1987. V. 99, N 3. P. 445–451.
     
  14. Fan P., Fong C. K., Che K. An intrinsic characterization for zero-diagonal operators // Proc. Am. Math. Soc. 1994. V. 121, N 3. P. 803–805.
     
  15. Бикчентаев А. М. К теории $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана. II // Математика и теоретические компьютерные науки. 2023. Т. 1, № 2. С. 3–11.
     
  16. Bikchentaev A. M. Concerning the theory of $\tau$-measurable operators affiliated to a semifinite von Neumann algebra. II // Lobachevskii J. Math. 2023. V. 44, N 10. P. 4507–4511.
     
  17. Бикчентаев А. М. Существенно обратимые измеримые операторы, присоединенные к полуконечной алгебре фон Неймана, и коммутаторы // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 2. С. 272–282.
     
  18. Weigt M. Derivations of $\tau$-measurable operators // Operator algebras, operator theory and applications. Basel: Birkhäuser Verlag, 2010. P. 273–286. (Oper. Theory Adv. Appl.; V. 195).
     
  19. Бер А. Ф., Кудайбергенов К. К., Сукочев Ф. А. Дифференцирования на алгебрах Мюррея — фон Неймана // Успехи мат. наук. 2019. Т. 74, № 5. С. 183–184.
     
  20. Huang J., Kudaybergenov K. K., Sukochev F. A. Ring derivations of Murray–von Neumann algebras // Linear Algebra Appl. 2023. V. 672, N 1. P. 28–52.
     
  21. Бикчентаев А. М. О сходимости интегрируемых операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана // Тр. МИАН. 2016. Т. 293. С. 73–82.
     
  22. Бикчентаев А. М. След и коммутаторы измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Квантовая вероятность. Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. М.: ВИНИТИ РАН, 2018. С. 10–20. (Тематические обзоры; Т. 151).
     
  23. Bikchentaev A. M. Trace and commutators of measurable operators affiliated to a von Neumann algebra // J. Math. Sci. (New York). 2021. V. 252, N 1. P. 8–19.
     
  24. Бикчентаев А. М., Фауаз Х. Разности и коммутаторы идемпотентов в $C∗$-алгебрах // Изв. вузов. Математика. 2021. № 8. С. 16–26.
     
  25. Helton J., Howe R. Traces of commutators of integral operators // Acta Math. 1975. V. 135, N 3–4. P. 271–305. 
     
  26. Weiss G. The Fuglede commutativity theorem modulo the Hilbert–Schmidt class and generating functions for matrix operators. I // Trans. Am. Math. Soc. 1978. V. 246. P. 193–209.
     
  27. Kittaneh F. On zero-trace commutators // Bull. Austral. Math. Soc. 1986. V. 34, N 1. P. 119–126.
     
  28. Kittaneh F. Some trace class commutators of trace zero // Proc. Am. Math. Soc. 1991. V. 113, N 3. P. 655–661. 
     
  29. Putnam C. R. On commutators of bounded matrices // Am. J. Math. 1951. V. 73, N 1. P. 127–131.
     
  30. Takesaki M. Theory of operator algebras. I. Encyclopaedia of mathematical sciences, 124. Operator algebras and non-commutative geometry, 5. Berlin: Springer-Verl., 2002.
     
  31. Takesaki M. Theory of operator algebras. II. Encyclopaedia of mathematical sciences, 125. Operator algebras and non-commutative geometry, 6. Berlin: Springer-Verl., 2003.
     
  32. Fack T., Kosaki H. Generalized $s$-numbers of $\tau$-measurable operators // Pacific J. Math. 1986. V. 123, N 2. P. 269–300.
     
  33. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.
     
  34. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.
     
  35. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. Минск: Университетское, 1988.
     
  36. Brown L. G., Kosaki H. Jensen’s inequality in semifinite von Neumann algebra // J. Operator Theory. 1990. V. 23, N 1. P. 3–19.
     
  37. Dodds P. G., Dodds T. K.-Y., Pagter de B. Noncommutative Köthe duality // Trans. Am. Math. Soc. 1993. V. 339, N 2. P. 717–750.
     
  38. Bikchentaev A. M., Yakushev R. S. Representation of tripotents and representations via tripotents // Linear Algebra Appl. 2011. V. 435, N 9. P. 2156–2165.
     
  39. Бикчентаев А. М. К теории $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Мат. заметки. 2015. Т. 98, № 3. С. 337–348.
     
  40. Бикчентаев А. М. О минимальности топологии сходимости по мере на конечных алгебрах фон Неймана // Мат. заметки. 2004. Т. 75, № 3. С. 342–349.
     
  41. Ber A., Chilin V., Sukochev F., Zanin D. Fuglede–Putnam theorem for locally measurable operators // Proc. Am. Math. Soc. 2018. V. 146, N 4. P. 1681–1692.
     
  42. Ahramovich M. V., Chilin V. I., Muratov M. A. Fuglede–Putnam theorem in the algebra of locally measurable operators // Indian J. Math. 2013. V. 55, N suppl. P. 13–20.
     
  43. Ахрамович М. В., Муратов М. А., Чилин В. И. Теорема Фуглида — Путнама для локально измеримых операторов // Динамические системы (Симферополь). 2014. Т. 4, № 1-2. С. 3–8.
     
  44. Бикчентаев А. М. Об идемпотентных $\tau$-измеримых операторах, присоединенных к алгебре фон Неймана // Мат. заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 492–503.
     
  45. Akhmadiev M., Alhasan H., Bikchentaev A., Ivanshin P. Commutators and hyponormal operators on a Hilbert space // J. Iran Math. Soc. 2023. V. 4, N 1. P. 67–78.

Работа выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2023-994).

Бикчентаев Айрат Мидхатович (ORCID 0000-0001-5992-3641)
  1. Казанский (Приволжский) федеральный университет, 
    ул. Кремлевская, 18, Казань 420008

E-mail: Airat.Bikchentaev@kpfu.ru

Статья поступила 21 ноября 2023 г.
После доработки — 21 ноября 2023 г.
Принята к публикации 25 января 2024 г.