Расслоения Бирман — Хильдена. II

Расслоения Бирман — Хильдена. II

Малютин А. В.
Сибирский математический журнал, 65, 2, 358-373 (2024)
Скачать статью

УДК 515.145.2+515.148 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.210

Аннотация:

Изучается структура групп автогомеоморфизмов расслоенных многообразий. Расслоенное топологическое пространство называется пространством Бирман — Хильдена, если в каждой паре послойных (переводящих каждый слой в некоторый слой) изотопных автогомеоморфизмов этого пространства автогомеоморфизмы еще и послойно изотопны. В работе доказывается, в частности, что к классу Бирман — Хильдена относятся все связные компактные локально тривиально расслоенные над окружностью многообразия размерности не выше трех (включая неориентируемые и с непустым краем), а также все локально тривиально расслоенные над окружностью с ориентируемым хакеновым слоем замкнутые четырехмерные многообразия (включая неориентируемые).

Литература:
  1. Малютин А. В. Расслоения Бирман — Хильдена. I // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 1. С. 127–141.
     
  2. Birman J. S., Hilden H. M. On the mapping class groups of closed surfaces as covering spaces // Ann. Math. Stud. 1971. V. 66. P. 81–115.
     
  3. Birman J. S., Hilden H. M. Isotopies of homeomorphisms of Riemann surfaces and a theorem about Artin’s braid group // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. V. 78. P. 1002–1004.
     
  4. Birman J. S., Hilden H. M. Lifting and projecting homeomorphisms // Arch. Math. (Basel). 1972. V. 23. P. 428–434.
     
  5. Birman J. S., Hilden H. M. On isotopies of homeomorphisms of Riemann surfaces // Ann. Math. (2). 1973. V. 97. P. 424–439.
     
  6. Birman J. S., Hilden H. M. Erratum to ‘On isotopies of homeomorphisms of Riemann surfaces’ // Ann. Math. (2). 2017. V. 185. P. 345.
     
  7. Zieschang H. On the homeotopy group of surfaces // Math. Ann. 1973. V. 206. P. 1–21.
     
  8. Maclachlan C., Harvey W. J. On mapping-class groups and Teichmüller spaces // Proc. Lond. Math. Soc. 1975. V. 30. P. 496–512.
     
  9. Berstein I., Edmonds A. L. On the construction of branched coverings of low-dimensional manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 247. P. 87–124.
     
  10. Fuller T. On fiber-preserving isotopies of surface homeomorphisms // Proc. Amer. Math. Soc. 2001. V. 129. P. 1247–1254.
     
  11. Aramayona J., Leininger C. J., Souto J. Injections of mapping class groups // Geom. Topol. 2009. V. 13. P. 2523–2541.
     
  12. Winarski R. R. Symmetry, isotopy, and irregular covers // Geom. Dedicata. 2015. V. 177. P. 213–227.
     
  13. Ghaswala T., Winarski R. R. Lifting homeomorphisms and cyclic branched covers of spheres // Michigan Math. J. 2017. V. 66. P. 885–890.
     
  14. Atalan F., Medetogullari E. The Birman–Hilden property of covering spaces of non-orientable surfaces // Ukraïn. Mat. Zh. 2020. V. 72, N 3. P. 307–315.
     
  15. Margalit D., Winarski R. R. Braids groups and mapping class groups: The Birman–Hilden theory // Bull. London Math. Soc. 2021. V. 53, N 3. P. 643–659.
     
  16. Kolbe B., Evans M. E. Isotopic tiling theory for hyperbolic surfaces // Geom. Dedicata. 2021. V. 212. P. 177–204. 
     
  17. Dey S., Dhanwani N. K., Patil H., Rajeevsarathy K. Generating the liftable mapping class groups of regular cyclic covers. 2021. 14 p. arXiv:2111.01626v1 [math.GT].
     
  18. Vogt E. Projecting isotopies of sufficiently large $P^2$-irreducible 3-manifolds // Arch. Math. (Basel). 1977. V. 29, N 6. P. 635–642.
     
  19. Ohshika K. Finite subgroups of mapping class groups of geometric 3-manifolds // J. Math. Soc. Japan. 1987. V. 39, N 3. P. 447–454.
     
  20. Friedman J. L., Witt D. M. Homotopy is not isotopy for homeomorphisms of 3-manifolds // Topology. 1986. V. 25, N 1. P. 35–44.
     
  21. Artin E. Theorie der Zöpfe // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1925. V. 4. P. 47–72.
     
  22. Morton H. R. Infinitely many fibred knots having the same Alexander polynomial // Topology. 1978. V. 17. P. 101–104.
     
  23. Burde G., Zieschang H. Knots. Berlin: Walter de Gruyter, 1985. (de Gruyter Stud. Math.; V. 5).
     
  24. Kassel C., Turaev V. Braid groups. New York: Springer, 2008. (Grad. Texts Math.; V. 247).
     
  25. McCoy R. A. Completely metrizable spaces of embeddings // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. V. 84, N 3. P. 437–442.
     
  26. Kuratowski C. Evaluation de la classe borélienne ou projective d’un ensemble de points à l’aide des symboles logiques // Fund. Math. 1931. V. 17. P. 249–272.
     
  27. Чернавский А. В. Локальная стягиваемость группы гомеоморфизмов многообразия // Мат. сб. 1969. Т. 79, № 3. С. 307–356.
     
  28. Чернавский А. В. Локальная стягиваемость группы гомеоморфизмов $\mathbb{R}^n$ // Геометрия, топология и математическая физика. I. Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова. Труды МИАН. Т. 263. М.: МАИК «Наука/Интерпериодика», 2008. С. 201–215.
     
  29. Rosendal C. Coarse geometry of topological groups. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2021. (Camb. Tracts Math.; V. 223).
     
  30. Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Yu., Kharlamov V. M. Elementary topology: Problem textbook. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008.
     
  31. Whitehead J. H. C. Combinatorial homotopy. I // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55. P. 213–245.
     
  32. Milnor J. On spaces having the homotopy type of a CW-complex // Trans. Amer. Math. Soc. 1959. V. 90, N 2. P. 272–280.
     
  33. Hanner O. Some theorems on absolute neighborhood retracts // Arkiv Mat. 1951. V. 1. P. 389–408.
     
  34. Baer R. Kurventypen auf Flächen // J. Reine Angew. Math. 1927. V. 156. P. 231–246.
     
  35. Epstein D. B. A. Curves on 2-manifolds and isotopies // Acta Math. 1966. V. 115. P. 83–107.
     
  36. Ghys É.  Groups acting on the circle // Enseign. Math. (2). 2001. V. 47, N 3–4. P. 329–407.
     
  37. McCarty (Jr.) G. S. Homeotopy groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106. P. 293–304.
     
  38. Wada H. On the space of mappings of a sphere on itself // Ann. of Math. (2). 1956. V. 64. P. 420–435.
     
  39. Wada H. Note on some mapping spaces // Tohoku Math. J. (2). 1958. V. 10, N 2. P. 143–145.
     
  40. Koh S. S. Note on the homotopy properties of the components of the mapping space $X^{S^p}$ // Proc. Amer. Math. Soc. 1960. V. 11. P. 896–904.
     
  41. Adams J. F. On the nonexistence of elements of Hopf invariant one // Bull. Amer. Math. Soc. 1958. V. 64. P. 279–282.
     
  42. Adams J. F. On the non-existence of elements of Hopf invariant one // Ann. Math. (2). 1960. V. 72. P. 20–104. 
     
  43. Hansen V. L. The homotopy problem for the components in the space of maps on the $n$-sphere // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). 1974. V. 25. P. 313–321.
     
  44. Alexander J. W. On the deformation of an $n$-cell // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1923. V. 9. P. 406–407.
     
  45. Hamstrom M.-E. Homotopy in homeomorphism spaces, $T O P$ and $P L$ // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. V. 80. P. 207–230.
     
  46. Hamstrom M.-E. The space of homeomorphisms on a torus // Illinois J. Math. 1965. V. 9. P. 59–65.
     
  47. Hamstrom M.-E. Homotopy properties of the space of homeomorphisms on $P^2$ and the Klein bottle // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. V. 120. P. 37–45.
     
  48. Luke R., Mason W. K. The space of homeomorphisms on a compact two-manifold is an absolute neighborhood retract // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 164. P. 275–285.
     
  49. Baer R. Isotopie von Kurven auf orientierbaren, geschlossenen Flächen und ihr Zusammenhang mit der topologischen Deformation der Flächen // J. Reine Angew. Math. 1928. V. 159. P. 101–116.
     
  50. Hamstrom M.-E. Homotopy groups of the space of homeomorphisms on a 2-manifold // Illinois J. Math. 1966. V. 10. P. 563–573.
     
  51. Hamstrom M.-E., Dyer E. Regular mappings and the space of homeomorphisms on a 2-manifold // Duke Math. J. 1958. V. 25. P. 521–531.
     
  52. Hamstrom M.-E. Some global properties of the space of homeomorphisms on a disc with holes // Duke Math. J. 1962. V. 29. P. 657–662.
     
  53. Gottlieb D. H. A certain subgroup of the fundamental group // Amer. J. Math. 1965. V. 87. P. 840–856.
     
  54. Hansen V. L. The homotopy groups of a space of maps between oriented closed surfaces // Bull. London Math. Soc. 1983. V. 15, N 4. P. 360–364.
     
  55. Yamanoshita T. On the space of self-homotopy equivalences of the projective plane // J. Math. Soc. Japan. 1993. V. 45. P. 489–494.
     
  56. Arens R. A topology for spaces of transformations // Ann. Math. 1946. V. 47. P. 480–495.
     
  57. Hu S. T. Theory of retracts. Detroit: Wayne State Univ. Press, 1965.
     
  58. Thom R. L’homologie des espaces fonctionnels // Colloque de topologie algébrique (Louvain, 1956). Georges Thone, Liège. Paris: Masson, 1957. P. 29–39.
     
  59. Rutter J. W. Spaces of homotopy self-equivalences. Berlin: Springer-Verl., 1997. (Lect. Notes Math.; V. 1662).
     
  60. Smith S. B. The homotopy theory of function spaces: A survey // Homotopy theory of function spaces and related topics. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010. (Contemp. Math.; V. 519). P. 3–39.
     
  61. Kneser H. Die Deformationssätze der einfach zusammenhängenden Flächen // Math. Z. 1926. V. 25, N 1. P. 362–372.
     
  62. Hansen V. L. The space of self-maps on the 2-sphere // Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988). Berlin: Springer, 1990. (Lect. Notes Math.; V. 1425). P. 40–47.
     
  63. Goncalves D. L., Spreafico M. The fundamental group of the space of maps from a surface into the projective plane // Math. Scand. 2009. V. 104, N 2. P. 161–181.
     
  64. Waldhausen F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large // Ann. Math. (2). 1968. V. 87. P. 56–88. 
     
  65. Laudenbach F. Topologie de la dimension trois: homotopie et isotopie. Paris: Sot. Math. de France, 1974. (Astérisque; V. 12).
     
  66. Hatcher A. Homeomorphisms of sufficiently large $P^2$-irreducible 3-manifolds // Topology. 1976. V. 15, N 4. P. 343–347.
     
  67. Hatcher A. A proof of the Smale conjecture, $Diff(S^3 ) \backsimeq O(4)$ // Ann. Math. (2). 1983. V. 117, N 3. P. 553–607.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00299, https://rscf.ru/project/22-11-00299/.

Малютин Андрей Валерьевич (ORCID 0000-0002-4512-0124)
  1. Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук,
    ул. Губкина, 8, Москва 119991
  2. Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН,
    наб. р. Фонтанки, 27, Санкт-Петербург 191023

E-mail: malyutin@pdmi.ras.ru

Статья поступила 3 августа 2023 г. 
После доработки — 27 ноября 2023 г.
Принята к публикации 28 ноября 2023 г.