Спектральный критерий степенной скорости сходимости в эргодической теореме для Z d и R d действий

Спектральный критерий степенной скорости сходимости в эргодической теореме для $\mathbb{Z}^d$ и $\mathbb{R}^d$ действий

Качуровский А. Г., Подвигин И. В., Тодиков В. Э., Хакимбаев А. Ж.

УДК 517.987 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.109


Аннотация:

Доказана эквивалентность степенной скорости сходимости в $L_2$-норме эргодических средних для $\mathbb{Z}^d$ и $\mathbb{R}^d$ действий и степенной же оценки спектральной меры симметричных $d$-мерных параллелепипедов: для показателей степеней, являющихся корнями некоторого специального симметрического многочлена от $d$ переменных. При этом в случае $d = 1$ накрывается весь возможный диапазон степенных скоростей.

Литература:
  1. Dunford N. An individual ergodic theorem for non-commutative transformations // Acta Sci. Math. (Szeged). 1951. V. 14. P. 1–4.
     
  2. Zygmund A. An individual ergodic theorem for non-commutative transformations // Acta Sci. Math. (Szeged). 1951. V. 14. P. 103–110.
     
  3. Krengel U. Ergodic theorems. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1985.
     
  4. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть 1. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
     
  5. Karagulyan G. A., Lacey M. T., Martirosyan V. A. On the convergence of multiple ergodic means // New York J. Math. 2022. V. 28. P. 1448–1462.
     
  6. Tempelman A. Ergodic theorems for group actions. Informational and thermodynamical aspects. Dordrecht: Springer-Verl., 1992. (MAIA; V. 78).
     
  7. Nevo A. Pointwise ergodic theorems for actions of groups // Handbook of dynamical systems. 2006. V. 1. Part B. P. 871–982.
     
  8. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1, 2. М.: Мир, 1975.
     
  9. Folland G. B. A course in abstract harmonic analysis. Boca Raton: CRC Press, 1995.
     
  10. Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 4. С. 73–124.
     
  11. Качуровский А. Г., Подвигин И. В. Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Тр. Моск. мат. о-ва. 2016. Т. 77, № 1. С. 1–66.
     
  12. Богачев В. И. Теория меры. М.; Ижевск: РХД, 2003. Т. 2.
     
  13. Богачев В. И. Теория меры. М.-Ижевск: РХД, 2003. Т. 1.
     
  14. Качуровский А. Г. О сходимости средних в эргодической теореме для групп $\mathbb{Z}^d$ // Зап. науч. сем. ПОМИ. 1999. Т. 256. С. 121–128.
     
  15. Tempelman A. Randomized consistent statistical inference for random processes and fields // Stat. Inference Stoch. Process. 2022. V. 25. P. 599–627.
     
  16. Качуровский А. Г., Подвигин И. В., Тодиков В. Э. Uniform convergence on subspaces in von Neumann’s ergodic theorem with continuous time // Сиб. электрон. мат. изв. 2023. Т. 20, № 1. С. 183–206.
     
  17. Качуровский А. Г., Подвигин И. В., Хакимбаев A. Ж. Равномерная сходимость на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем // Мат. заметки. 2023. Т. 113, № 5. С. 713–730.
     
  18. Cohen G., Lin M. Double coboundaries for commuting contractions // Pure Appl. Funct. Anal. 2017. V. 2, N 1. P. 11–36.
     
  19. Cohen G., Lin M. Joint and double coboundaries of commuting contractions // Indiana Univ. Math. J. 2021. V. 70, N 4. P. 1355–1394.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект № FWNF2022-0004)


Качуровский Александр Григорьевич (ORCID 0000-0002-2747-2660)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: agk@math.nsc.ru

Подвигин Иван Викторович
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: ipodvigin@math.nsc.ru

Тодиков Владислав Эдуардович
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
  2. Новосибирский технический государственный университет, 
    пр. К. Маркса, 20, Новосибирск 630073

E-mail: v.todikov@g.nsu.ru

Хакимбаев Азиз Жамалатдин улы
  1. Новосибирский государственный университет, механико-математический факультет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

E-mail: a.khakimbaev@g.nsu.ru

Статья поступила 28 июня 2023 г.
После доработки — 28 июня 2023 г.
Принята к публикации 25 сентября 2023 г.