Спектр упругих пчелиных сот с закрепленной поверхностью

Спектр упругих пчелиных сот с закрепленной поверхностью

Назаров С. А.
Сибирский математический журнал, 67, 3, 464-486 (2026)
Скачать статью

УДК 517.956.8:517.958.539(3) 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.307

Аннотация:

В низкочастотном диапазоне спектра изотропного волновода в форме толстого слоя тонкостенных пчелиных сот с полностью закрепленной поверхностью обнаружено множество раскрытых широких лакун между узкими спектральными сегментами (соответственно зоны торможения и прохождения волн). Упругие волны концентрируются около и осциллируют вдоль ребер сотовых ячеек. Результаты получены посредством построения асимптотики собственных пар модельной задачи на ячейке периодичности, зависящей от параметра Флоке. Основную роль играет явление пограничного слоя, описываемого решениями двух — плоской векторной и антиплоской скалярной — задач теории упругости в симметричной двумерной треноге, составленной из единичных полуполос. Решающее наблюдение: единственное собственное число из дискретного спектра скалярной задачи лежит строго ниже спектра векторной. Обоснование асимптотики проведено при помощи классической леммы о «почти собственных» числах и векторах, а также проверки сходимости атрибутов собственных вектор-функций.

Литература:
  1. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. С. 1117–1120.
     
  2. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 
     
  3. Кучмент П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37, № 4. С. 3–52.
     
  4. Скриганов М. М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 171. С. 1–122.
     
  5. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations. Basel: Birchäuser, 1993.
     
  6. Geim A. K., Novoselov K. S. The rise of graphene // Nature materials. 2007. V. 6, N 3. P. 183–191.
     
  7. Geim A. K. Graphene: status and prospects // Science. 2009. V. 324, N 5934. P. 1530–1534.
     
  8. Pauling L. The diamagnetic anisotropy of aromatic molecules // J. Chem. Phys. 1946. V. 4. P. 673–677.
     
  9. Kuchment P. A., Zeng H. Convergence of spectra of mesoscopic systems collapsing onto a graph // J. Math. Anal. Appl. 2001. V. 258. P. 671–700.
     
  10. Exner P., Post O. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds // J. Geom. Phys. 2005. V. 54, N 1. P. 77–115.
     
  11. Grieser D. Spectra of graph neighborhoods and scattering // Proc. London Math. Soc. 2008. V. 97, N 3. P. 718–752.
     
  12. Post O. Spectral analysis on graph-like spaces. Heidelberg: Springer, 2012. (Lecture Notes in Mathematics; V. 2039).
     
  13. Kuchment P. A., Post O. On the spectra of carbon nano-structure // Commun. Math. Phys. 2007. V. 275, N 3. P. 805–826.
     
  14. Nazarov S. A., Ruotsalainen K., Uusitalo P. Asymptotics of the spectrum of the Dirichlet Laplacian on a thin carbon nano-structure // C. R. Mecanique. 2015. V. 343. P. 360–364.
     
  15. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.
     
  16. Nazarov S. A., Ruotsalainen K., Uusitalo P. The $Y$-junction of quantum waveguides // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94, N 6. P. 477–486.
     
  17. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
     
  18. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
     
  19. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
     
  20. Бирман М. Ш., Соломяк М. З Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
     
  21. Камоцкий И. В., Назаров С. А. О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области // Проблемы математического анализа. Новосибирск: Научн. книга, 1999. Т. 18. С. 105–148.
     
  22. Назаров С. А. Упругие волны, захваченные полубесконечной полосой с защемленными боковыми сторонами и изломанным торцом // Прикл. математика и механика. 2023. Т. 87, № 2. С. 265–279.
     
  23. Назаров С. А. Собственные колебания упругой полуполосы при различном расположении участков фиксации ее краев // Акустический журн. 2023. Т. 69, № 4. С. 398–409.
     
  24. Mazja W. G., Nasarow S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. Berlin: Akademie-Verl., 1991.
     
  25. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
     
  26. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. о-ва. 1963. Т. 16. С. 219–292.
     
  27. Nazarov S. A., Plamenevsky B. A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1994.
     
  28. Назаров С. А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи мат. наук. 1999. Т. 54, № 5. С. 77–142.
     
  29. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. 1964. Т. 19, № 3. С. 53–161.
     
  30. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.
     
  31. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I. // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, № 3. С. 3–80.
     
  32. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.
     
  33. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space // Commun. Pure. Appl. Math. 1963. V. 16, N ?. P. 121–239.
     
  34. Pazy A. Asymptotic expansions of solutions of ordinary differential equations in Hilbert space // Arch. Rational Mech. Anal. 1967. V. 24, N ?. P. 193–218.
     
  35. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Оценки в $L_p$ и в классах Гёльдера и принцип максимума Миранда — Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1978. V. 77, N 1. P. 25–82.
     
  36. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3–122.
     
  37. Molchanov S., Vainberg B. Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics // Commun. Math. Phys. 2007. V. 273, N 2. P. 533–559.
     
  38. Назаров С. А. Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов // Изв. РАН. Сер. мат. 2020. Т. 84, № 6. С. 3–60.
     
  39. Rellich F. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen $\Delta u + \lambda u = 0$ von in unendlichen Gebieten // Jahresber. Deutsch. Math.-Verl. 1943. V. 53, N 1. P. 57–65.
     
  40. Назаров С. А. Упругие волны, захваченные однородным анизотропным полуцилиндром // Мат. сб. 2013. Т. 204, № 11. С. 99–130.
     
  41. Назаров С. А. Лакуны в спектре тонкостенного прямоугольного бесконечного короба Дирихле с периодическим семейством перегородок // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 7. С. 91–133.
     
  42. Назаров С. А. Разные типы локализации собственных функций скалярных смешанных краевых задач в тонких многогранниках // Уфимск. мат. журн. 2025. Т. 17, № 1. С. 25–61.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект 124041500009-8).

Назаров Сергей Александрович (ORCID 0000-0002-8552-1264)
  1. Институт проблем машиноведения РАН, 
    ВО, Большой проспект, 61, Санкт-Петербург 199178

E-mail: srgnazarov108@gmail.com, serna108@mail.ru 

Статья поступила 4 мая 2025 г.
После доработки — 12 марта 2026 г.
Принята к публикации 12 марта 2026 г.