Представимость матриц над коммутативными кольцами в виде суммы двух потентных матриц
Представимость матриц над коммутативными кольцами в виде суммы двух потентных матриц
Аннотация:
Исследуется проблема нахождения условий, при которых из представимости каждого элемента $a$ из поля $F$ в виде $a = f + g$, где $f ^{q1} = f$, $g^{q2} = g$ и $q_1, q_2 > 1$ — фиксированные натуральные числа, следует аналогичная представимость каждой квадратной матрицы над полем $F$. Предложен общий подход к решению этой проблемы. В качестве приложения полученных результатов описаны поля и коммутативные кольца с обратимой двойкой, над которыми каждая квадратная матрица является суммой $q_1$-потентной матрицы и $q_2$-потентной матрицы для некоторых малых значений $q_1$ и $q_2$.
Литература:
- Hirano Н., Tominaga Р. Rings in which every element is the sum of two idempotents // Bull. Aust. Math. Soc. 1988. V. 37, N 2. P. 161–164.
- Tang G., Zhou Y., Su H. Matrices over a commutative ring as sums of three idempotents or three involutions // Linear Multilinear Algebra. 2019. V. 67, N 2. P. 267–277.
- Ying Z., Ko˛san T., Zhou Y. Rings in which every element is a sum of two tripotents // Canad. Math. Bull. 2016. V. 59, N 3. P. 661–672.
- Zhou Y. Rings in which elements are sum of nilpotents, idempotents and tripotents // J. Algebra Appl. 2018. V. 17, N 1. 1850009.
- Abdolyousefi M. Sh., Chen H. Matrices over Zhou nil-clean rings // Commun. Algebra. 2018. V. 46, N 4. P. 1527–1533.
- Breaz S., Calugareanu G., Danchev P., Micu T. Nil-clean matrix rings // Linear Algebra Appl. 2013. V. 439, N 10. P. 3115–3119.
- Ster J. On expressing matrices over $Z_2$ as the sum of an idempotent and a nilpotent // Linear Algebra Appl. 2018. V. 544. P. 339–349.
- Kocsan M. T., Lee T.-K., Zhou Y. When is every matrix over a division ring a sum of an idempotent and a nilpotent? // Linear Algebra Appl. 2014. V. 450. P. 7–12.
- Koşan M. T., Wang Z., Zhou Y. Nil-clean and strongly nil-clean rings // J. Pure Appl. Algebra. 2016. V. 220, N 2. P. 633–646.
- Abdolyousefi M. Sh., Chen H. Sums of tripotent and nilpotent matrices // Bull. Korean Math. Soc. 2018. V. 55, N 3. P. 913–920.
- Абызов А. Н., Мухаметгалиев М. И. О некоторых матричных аналогах малой теоремы Ферма // Мат. заметки. 2017. Т. 101, № 2. С. 163–168.
- Breaz S. Matrices over finite fields as sums of periodic and nilpotent elements // Linear Algebra Appl. 2018. V. 555. P. 92–97.
- Абызов А. Н., Тапкин Д. Т. Кольца, матрицы над которыми представимы в виде суммы идемпотентной матрицы и $q$-потентной матрицы // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 1. С. 3–18.
- Abyzov A. N., Tapkin D. T. When is every matrix over a ring the sum of two tripotents? // Linear Algebra Appl. 2021. V. 630. P. 316–325.
- Abyzov A. N., Cohen S. D., Danchev P. V., Tapkin D. T. Rings and finite fields whose elements are sums or differences of tripotents and potents // Turk. J. Math. 2024. V. 48, N 5. P. 817–839.
- Абызов А. Н., Тапкин Д. Т. Кольца, матрицы над которыми представимы в виде суммы двух потентных матриц // Изв. вузов. Математика. 2023. № 12. С. 90–94.
- Lam T. Y. A first course in noncommutative rings. New York: Springer-Verl., 2001.
- Abyzov A. N., Tapkin D. T. On rings with $x^n − x$ nilpotent // J. Algebra Appl. 2022. V. 21, N 6. 2250111.
Работа поддержана грантом Российского научного фонда и Кабинета Министров Республики Татарстан (проект № 23-21-10086).
Абызов Адель Наилевич (ORCID 0000-0002-9809-2091)
- Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, 18, Казань 420000
E-mail: Adel.Abyzov@kpfu.ru
Тапкин Даниль Тагирзянович (ORCID 0000-0003-0828-4397)
- Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, 18, Казань 420000
E-mail: danil.tapkin@yandex.ru
Статья поступила 13 июля 2024 г.
После доработки — 20 сентября 2024г.
Принята к публикации 23 октября 2024 г.