Матрицы над полными кольцами дискретного нормирования

Матрицы над полными кольцами дискретного нормирования

Абызов А. Н.
Сибирский математический журнал, 67, 5, 755-773 (2026)
Скачать статью

УДК 512.55 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.501

Аннотация:

Для матриц над полными кольцами дискретного нормирования вводится и изучается матричный аналог понятия представителя Тейхмюллера, который тесно связан со свойствами p-адических пределов последовательностей следов p-примарных степеней целочисленных матриц, рассматриваемых в работе. Также получены обобщения матричных аналогов сравнений Эйлера и Гаусса на случай матриц над коммутативными кольцами.

Литература:
  1. Schönemann T. Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung. Allgemeine Sätze über Congruenzen nebst einigen Anwendungen derselben // J. Reine Angew. Math. 1839. N 19. P. 289–308.
     
  2.  Шатуновский С. О. Объ условiяхъ существованiя $n$ неравныхъ корней сравненiя $n$-й степени по простому модулю. Казань: Типо-литографiя Императорск. ун-та, 1903.
     
  3. Dickson L. E. History of the theory of numbers. New York: Chelsea, 1971. V. 1.
     
  4. Gladki P., Pulikowski M. Gauss congruences in algebraic number fields // Ann. Math. Silesianae. 2022. V. 36, N 1. P. 53–56.
     
  5. Jänichen W. Über die Verallgemeinerung einer Gaussschen Formel aus der Theorie der höhern Kongruenzen // Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. 1921. V. 20. P. 23–29.
     
  6. Schur I. Arithmetische Eigenschaften der Potenzsummen einer algebraischen Gleichung // Compositio Mathematica. 1937. V. 4. P. 432–444.
     
  7. Арнольд В. И. Матричная теорема Эйлера — Ферма // Изв. РАН. Сер. мат. 2004. Т. 68, № 6. С. 61–70.
     
  8. Зарелуа А. В. О матричных аналогах малой теоремы Ферма // Мат. заметки. 2006. Т. 79, № 6. С. 838–853. 
     
  9. Зарелуа А. В. О сравнениях для следов степеней некоторых матриц // Тр. МИАН. 2008. Т. 263. С. 85–105. 
     
  10. Винберг Э. Б. Малая теорема Ферма и ее обобщения // Мат. просвещение. Сер. 3. 2008. Т. 12. С. 43–53. 
     
  11. Smyth C. J. A coloring proof of a generalization of Fermat’s little theorem // Am. Math. Monthly. 1986. V. 93, N 6. P. 469–471.
     
  12. Jezierski J., Marzantowicz W. Homotopy methods in topological fixed and periodic points theory. Dordrecht: Springer-Verl., 2006.
     
  13. Ford T. J. Separable algebras. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2017.
     
  14. Абызов А. Н., Мухаметгалиев И. И. О некоторых матричных аналогах малой теоремы Ферма // Мат. заметки. 2017. Т. 101, № 2. С. 163–168.
     
  15. Фейт У. Теория представлений конечных групп. М.: Наука, 1990.
     
  16. Eisenstein G. Applications de l’Alg`ebre `a l’Arithm´etique transcendante // J. Reine Angew. Mathematik. 1845. V. 29. P. 177–184.
     
  17. Kuroki A., Katayama S. A variation of Takagi’s proof for quadratic reciprocity laws of Jacobi symbols // J. Math. Univ. Tokushima. 2009. V. 43. P. 9–23.

Работа поддержана грантом Российского научного фонда (проект № 25-11-00348) и выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2026-1328/1).

Абызов Адель Наилевич (ORCID 0000-0002-9809-2091)
  1. Казанский (Приволжский) федеральный университет, 
    Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского, 
    ул. Кремлевская, 18, Казань 420000
  2. Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, 
    Московский пр., 9, Санкт-Петербург 190031

E-mail: Adel.Abyzov@kpfu.ru 

Статья поступила 28 октября 2025 г.
После доработки — 17 июня 2026 г.
Принята к публикации 22 июня 2026 г.