Формулы квазиинтерполяции интегральными квадратическими сплайнами

Формулы квазиинтерполяции интегральными квадратическими сплайнами

Волков Ю. С., Жанлав Т., Мижиддорж Р.-О.
Сибирский математический журнал, 67, 4, 603-615 (2026)
Скачать статью

УДК 517.518.85 
DOI: 10.33048/smzh.2026.67.403

Аннотация:

Рассматривается задача приближения функции по известным интегрально усредненным по промежуткам сетки значениям интегральными квадратическими сплайнами. Показано, что если решается задача интерполяции в среднем, то интегральный квадратический сплайн можно определять через интерполяционный кубический сплайн. Поскольку интерполяционный кубический сплайн достаточно хорошо изучен, то некоторые его свойства можно перенести на интегральный квадратический сплайн. Предложены формулы квазиинтерполяции интегральными квадратическими сплайнами. Задача локальной аппроксимации интегральными сплайнами впервые рассмотрена на произвольной неравномерной сетке. На равномерной сетке найдены все точки суперсходимости при интерполяции и квазиинтерполяции в среднем, т. е. точки, в которых повышается порядок приближения. Показано, что скачок (отношение величины разрыва к величине шага сетки) второй производной обоих сплайнов приближает третью производную с четвертым порядком.

Литература:
  1. Epstein E. S. On obtaining daily climatological values from monthly means // J. Climate. 1991. V. 4, N 3. P. 365–368.
     
  2. Ruiz-Arias J. A. Mean-preserving interpolation with splines for solar radiation modeling // Solar Energy. 2022. V. 248. P. 121–127.
     
  3. Schoenberg I. J. Splines and histograms // Spline functions and approximation theory: Proc. / Sympos., Edmonton, 1972 / Eds. A. Meir, A. Sharma. Internat. Ser. Numer. Math., 21. Basel: Birkhäuser, 1973. P. 277–327. 
     
  4. Субботин Ю. Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 118–173.
     
  5. Behforooz H. Approximation by integro cubic splines // Appl. Math. Comput. 2006. V. 175, N 1. P. 8–15.
     
  6. Kirsiaed E., Oja P., Shah G. W. Cubic spline histopolation // Math. Model. Anal. 2017. V. 22, N 4. P. 514–527.
     
  7. Wu J., Zhang X. Integro quadratic spline interpolation // Appl. Math. Modelling. 2015. V. 39, N 10-11. P. 2973–2980.
     
  8. Волков Ю. С. Условия формосохранения при интерполяции в среднем квадратическими интегральными сплайнами // Тр. ИММ УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 71–77.
     
  9. Волков Ю. С., Жанлав Т., Мижиддорж Р.-О. О краевых условиях для квадратических интегральных сплайнов при интерполяции в среднем // Тр. ИММ УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 95–105.
     
  10. Lang F.-G., Xu X.-P. On the superconvergence of some quadratic integro-splines at the mid-knots of a uniform partition // Appl. Math. Comput. 2018. V. 338. P. 507–514.
     
  11. Волков Ю. С. Оценки погрешности интерполяции в среднем интегральными квадратическими сплайнами и точки суперсходимости // Докл. АН. 2025. Т. 523. С. 31–34.
     
  12. Zhanlav T., Mijiddorj R. The local integro cubic splines and their approximation properties // Appl. Math. Comput. 2010. V. 216, N 7. P. 2215–2219.
     
  13. Zhanlav T., Mijiddorj R. Convexity and monotonicity properties of the local integro cubic spline // Appl. Math. Comput. 2017. V. 293, N 7. P. 131–137.
     
  14. Zhanlav T., Mijiddorj R. A comparative analysis of local cubic splines // Comput. Appl. Math. 2018. V. 37, N 5. P. 5576–5586.
     
  15. Zhanlav T., Mijiddorj R. On local integro quartic splines // Appl. Math. Comput. 2015. V. 269. P. 301–307.
     
  16. Zhanlav T., Mijiddorj R., Behforooz H. Construction of local integro quintic splines // Commun. Numer. Anal. 2016. N 2. P. 167–179.
     
  17. Zhanlav T., Mijiddorj R. Approximation by integro splines. Ulaanbaatar: Bit press, 2018.
     
  18. Жанлав Т. О представлении интерполяционных кубических сплайнов через B-сплайны // Вычислительные системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1981. Т. 87: Методы сплайн-функций. С. 3–10. 
     
  19. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.
     
  20. де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985.
     
  21. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.
     
  22. Волков Ю. С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // Докл. АН. 2002. Т. 382, № 2. С. 155–157.
     
  23. Волков Ю. С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 2. С. 231–241.
     
  24. Hall C. A., Meyer W. W. Optimal error bounds for cubic spline interpolation // J. Approx. Theory. 1976. V. 16, N 2. P. 105–122.
     
  25. Мирошниченко В. Л. О погрешности приближения кубическими интерполяционными сплайнами. I // Вычислительные системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. Т. 93: Методы сплайн-функций. С. 3–29. 
     
  26. Волков Ю. С., Субботин Ю. Н. 50 лет задаче Шёнберга о сходимости сплайн интерполяции // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 52–67.
     
  27. Lucas Т. R. Error bounds for interpolating cubic splines under various end conditions // SIAM J. Numer. Anal. 1974. V. 11, N 3. P. 569–584.
     
  28. Волков Ю. С., Мирошниченко В. Л. О приближении производных скачком интерполяционного сплайна // Мат. заметки. 2011. Т. 89, № 1. С. 127–130.
     
  29. Schumaker L. L. Spline functions: basic theory. New York: Wiley, 1981.
     
  30. Волков Ю. С. О нахождении полного интерполяционного сплайна через В-сплайны // Сиб. электрон. мат. изв. 2008. Т. 5. С. 334–338.
     
  31. Volkov Yu. S. Obtaining a banded system of equations in complete spline interpolation problem via B-spline basis // Cent. Europ. J. Math. 2012. V. 10, N 1. P. 352–356.
     
  32. Wu J., Shan T., Zhu C. Integro quadratic spline quasi-interpolants // J. Syst. Sci. Math. Sci. 2018. V. 38, N 12. P. 1407–1416.
     
  33. Wu J., Ge W., Zhang X. Integro spline quasi-interpolants and their super convergence // Comput. Appl. Math. 2020. V. 39, N 3. P. 239.
     
  34. Желудев В. А. Локальная сплайн-аппроксимация на равномерной сетке // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т. 27, № 9. С. 1296–1310.
     
  35. Волков Ю. С., Богданов В. В. О погрешности приближения простейшей локальной аппроксимацией сплайнами // Сиб. мат. журн. 2020. Т. 61, № 5. С. 1000–1008.

Работа первого автора выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект № FWNF-2026-0005).

Волков Юрий Степанович (ORCID 0000-0002-7298-8578)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: volkov@math.nsc.ru 

Жанлав Тугал (ORCID 0000-0003-0743-5587)
  1. Институт математики и цифровых технологий, Монгольская академия наук, 
    пр. Мира, 54, Улан-Батор 13330, Монголия

E-mail: tzhanlav@yahoo.com 

Мижиддорж Ренчин-Очир (ORCID 0000-0002-4845-9019)
  1. Могольский государственный университет образования, 
    Бага Тойруу, 54, Улан-Батор 14191, Монголия

E-mail: mijiddorj@msue.edu.mn 

Статья поступила 25 ноября 2025 г.
После доработки — 1 апреля 2026 г.
Принята к публикации 5 апреля 2026 г.