Обратная задача для полулинейного волнового уравнения с нелинейным интегральным оператором

Обратная задача для полулинейного волнового уравнения с нелинейным интегральным оператором

Романов В. Г.
Сибирский математический журнал, 66, 2, 245-265 (2025)
Скачать статью

УДК 517.956 
DOI: 10.33048/smzh.2025.66.210

Аннотация:

Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение, главная часть которого совпадает с волновым оператором, а в младших членах присутствуют нелинейное слагаемое $q(\mathrm{x})u^m$, $m > 1$, и интегральный нелинейный оператор. Этот оператор моделирует память среды и содержит переменный коэффициент $p(\mathrm{x})$. Для исходного уравнения изучается структура решения задачи Коши с нулевыми начальными данными и точечным импульсным источником, локализованным в некоторой точке ($\mathrm{y}, 0$) четырехмерного пространства переменных ($\mathrm{x}, t$). Предполагается, что функции $q(\mathrm{x})$ и $p(\mathrm{x})$ финитны и их носители содержатся в шаре $B_0$ с центром в начале координат и границей $S_0$, а точка $\mathrm{y}$ принадлежит концентрической c $S_0$ сфере $S$ большего радиуса. Точка $\mathrm{y}$ является параметром задачи и может пробегать всю сферу $S$. Изучается обратная задача об определении функций $q(\mathrm{x})$ и $p(\mathrm{x})$ в $B_0$. При этом используется следующая информация. Для любой точки $\mathrm{y}$, лежащей на сфере $S$, и для точек $\mathrm{x}$, лежащих на определенной части той же сферы, задается решение задачи Коши для исходного интегро-дифференциального уравнения для моментов времени, близких к приходу волны от источника в $\mathrm{y}$ до точек $\mathrm{x}$. Показано, что эта обратная задача редуцируется к двум идентичным задачам интегральной геометрии на семействе прямых с заданной весовой функцией, инвариантной относительно всевозможных вращений вокруг центра шара $B_0$. Установлена теорема единственности и предложен метод решения этих задач.

Литература:
  1. Lorenzi A., Sinestrari E. An inverse problem in the theory of materials with memory. I // Nonlinear Analysis. Theory Methods & Applications. 1988. V. 12. P. 1217–1335.
     
  2. Дурдиев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 574–582.
     
  3. Janno J., von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity // Math. Methods Appl. Sci. 1997. V. 20, N 4. P. 291–314.
     
  4. Durdiev D. K. Global solvability of an inverse problem for an integro-differential equation of electrodynamics // Differ. Equ. 2008. V. 44, N 7. P. 893–899.
     
  5. Lorenzi A., Messina F., Romanov V. G. Recovering a Lame kernel in a viscoelastic system // Applicable Anal. 2007. V. 86, N 11. P. 1375–1395.
     
  6. Lorenzi A., Romanov V. G. Recovering two Lamé kernels in a viscoelastics system // Inverse Probl. Imaging. 2011. V. 5, N 2. P. 431–464.
     
  7. Романов В. Г. Оценка устойчивости решения задачи об определении ядра в интегро-дифференциальных уравнениях электродинамики // Докл. АН. 2011. Т. 439, №4. С. 451–455.
     
  8. Романов В. Г. Трехмерная обратная задача вязкоупругости // Докл. АН. 2011. Т. 441, № 4. С. 452–455.
     
  9. Романов В. Г. Оценки устойчивости решения в задаче об определении ядра уравнения вязкоупругости // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1. С. 86–98.
     
  10. Durdiev D. K., Totieva Zh. D. The problem of determining the one dimensional matrix kernel of the system of viscoelasticity equations // Math. Meth. Appl. Sci. 2018. V. 41, N 17. P. 8019–8032.
     
  11. Kaltenbacher B., Khristenko U., Nikolic V., Rajendran L. M., Wohlmuth B. Determining kernels in linear viscoelasticity // J. Comput. Phys. 2022. V. 464. 111331.
     
  12. Durdiev D. K., Totieva Z. D. Kernel determination problems in hyperbolic integro-differential equations // Infosys Science Foundation Series inMathematical Sciences. Singapore: Springer, 2023.
     
  13. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations // Invent. Math. 2018. V. 212. P. 781–857.
     
  14. Lassas M., Uhlmann G.,Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds // Commun. Math. Phys. 2018. V. 360. P. 555–609.
     
  15. Lassas M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations // Proc. Intern. Congress Math. 2018. V. 3. P. 3739–3760.
     
  16. Hintz P., Uhlmann G. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets // Internat. Math. Res. Notices. 2019. V. 22. P. 6949–6987.
     
  17. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds // Internat. Math. Res. Notices. 2022. V. 17. P. 13181–13211.
     
  18. Uhlmann G., Zhai J. On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation // J. Math. Pures Appl. 2021. V. 153. P. 114–136.
     
  19. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations // Commun. Partial Differ. Equ. 2019. V. 44, N 11. P. 1140–1158.
     
  20. Barreto A. S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions // Inverse Probl. Imaging. 2020. V. 14, N 6. P. 1057–1105.
     
  21. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly nonlinear regime // Commun. Math. Phys. 2022. V. 392. P. 25–53.
     
  22. Lassas M., Liimatainen T., Potenciano-Machado L., Tyni T. Uniqueness and stability of an inverse problem for a semi-linear wave equation // J. Differ. Equ. 2022. V. 337. P. 395–435.
     
  23. Barreto A. S., Uhlmann G., Wang Y. Inverse scattering for critical semilinear wave equations // Pure Appl. Anal. 2022. V. 4, N 2. P. 191–223.
     
  24. Романов В. Г., Бугуева Т. В. Задача об определении коэффициента при нелинейном члене квазилинейного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 3. С. 154–169.
     
  25. Романов В. Г. Обратная задача для волнового уравнения с нелинейным поглощением // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 3. С. 635–652.
     
  26. Романов В. Г. Оценка устойчивости в обратной задаче для нелинейного гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 3. С. 560–576.
     
  27. Романов В. Г. Обратная задача для волнового уравнения с двумя нелинейными членами // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 4. С. 508–520.
     
  28. Romanov V. G., Bugueva T. V. An inverse problem for a nonlinear hyperbolic equation // Euras. J. Math. Comp. Appl. 2024. V. 12, N 2. P. 134–154.
     
  29. Романов В. Г. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 5. С. 1022–1028.
     
  30. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022-0009).

Романов Владимир Гаврилович (ORCID 0000-0002-5426-4277)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: romanov@math.nsc.ru

Статья поступила 16 января 2025 г.
После доработки — 16 января 2025 г.
Принята к публикации 25 февраля 2025 г.