О формациях конечных разрешимых групп со свойством P2

О формациях конечных разрешимых групп со свойством $\mathscr{P}_2$

Балычев С. В., Васильев A. Ф., Мурашко В. И.
Сибирский математический журнал, 65, 6, 1102-1114 (2024)
Скачать статью

УДК 512.542 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.604

Аннотация:

Пусть $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{X}$ — классы конечных групп. Говорят, что класс $\mathfrak{F}$ имеет свойство $\mathscr{P}_2$ для $\mathfrak{X}$, если всякая $\mathfrak{X}$-группа $G$ принадлежит $\mathfrak{F}$ в том случае, когда $G$ может быть записана в виде произведения $n$ подгрупп $A_1, A_2, \dots , A_n$ таких, что для любых $1 \le i < j \le n$ группа $A_{i}A_j$ принадлежит $\mathfrak{F}$. В работе описаны все $Z$-насыщенные $s_F$-замкнутые формации и формации Фишера разрешимых групп, обладающие свойством $\mathscr{P}_2$. В частности, множество всех таких формаций совпадает с множеством наследственных формаций Шеметкова в классе $\mathfrak{S}$ всех конечных разрешимых групп. Описаны наследственные насыщенные формации $\mathfrak{X}$, у которых любая насыщенная подформация обладает свойством $\mathscr{P}_2$ для $\mathfrak{X}$.

Литература:
  1. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R., Asaad M. Products of finite groups. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2010. (De Gruyter Expos. Math.; V. 53).
     
  2. Амберг Б., Казарин Л. С., Хефлинг Б. Конечные группы с кратными факторизациями // Фундам. и прикл. математика. 1998. Т. 4, № 4. С. 1251–1263.
     
  3. Васильев А. Ф. К проблеме перечисления локальных формаций с заданным свойством // Вопросы алгебры. 1987. № 3. С. 3–11.
     
  4. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. Classes of finite groups. Dordrecht: Springer-Verl., 2006. (Math. Appl.; V. 584).
     
  5. Kegel O. H. Zur Struktur mehrfach faktorisierter endlicher Gruppen // Math. Z. 1965. V. 87. P. 42–48.
     
  6. Казарин Л. С. Факторизации конечных групп разрешимыми подгруппами // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, № 7–8. С. 947–950.
     
  7. Васильев А. Ф. О перечислении локальных формаций с условием Кегеля // Вопросы алгебры. 1993. № 7. С. 86–93.
     
  8. Ballester-Bolinches A., Martinez-Pastor A., Pedraza-Aguilera M. C. Finite trifactorized groups and formations // J. Algebra. 2000. V. 226, N 2. P. 990–1000.
     
  9. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. On formations with the Kegel property // J. Group Theory. 2005. V. 8, N 5. P. 605–611.
     
  10. Васильев А. Ф., Мурашко В. И., Фурс А. К. Конечные группы с тремя несопряженными максимальными формационными подгруппами // Мат. заметки. 2022. Т. 111, № 3. С. 354–364.
     
  11. Балычев С. В., Вегера A. С. Разрешимые насыщенные формации со свойством $\mathscr{P}_2$ для конечных групп // Проблемы физики, математики, техники. 2020. № 1. С. 74–80.
     
  12. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. (De Gruyter Expos. Math.; V. 4).
     
  13. Khukhro E. I., Mazurov V. D. (eds.) The Kourovka notebook: unsolved problems in group theory, 20th edn. Novosibirsk: Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, 2022.
     
  14. Воробьев С. Н. О формациях Фишера конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2012. № 2. С. 43–48.
     
  15. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.
     
  16. Мурашко В. И. К вопросам Шеметкова, Баллестер-Болиншеcа и Перес-Рамос теории конечных групп // Мат. заметки. 2022. Т. 112, № 6. С. 839–849.
     
  17. Ballester-Bolinches A., Perez-Ramos M. D. On a question of L. A. Shemetkov // Commun. Algebra. 1999. V. 27, N 11. P. 5615–5618.
     
  18. Murashka V. I., Vasil′ev A. F. On the $\sigma$-nilpotent hypercenter of finite groups // J. Group Theory. 2022. V. 25, N 6. P. 1083–1098.
     
  19. Shemetkov L. A. Frattini extensions of finite groups and formations // Commun. Algebra. 1997. V. 25, N 3. P. 955–964.
     
  20. Guo W. The theory of classes of groups. Translated from the 1997 Chinese original. Beijing; New York; Dordrecht; Boston; London: Science Press / Kluwer Acad. Publ., 2000. (Math. Appl.; V. 505).
     
  21. Скиба А. Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп // Докл. АН БССР. 1990. Т. 34, № 11. С. 982–985.
     
  22. Семенчук В. Н., Васильев А. Ф. Характеризация локальных формаций $\mathfrak{F}$ по заданным свойствам минимальных не $\mathfrak{F}$-групп // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: труды Гомельского семинара. Минск: Наука и техника, 1984. С. 175–181.
     
  23. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1967. (Grundlehren Math. Wissensch.; V. 134).
     
  24. Carter R., Fischer B., Hawkes T. Extreme classes of a finite soluble groups // J. Algebra. 1968. V. 9, N 3. P. 285–315.
     
  25. Васильев А. Ф., Каморников С. Ф., Семенчук В. Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. С. 27–54. 
     
  26. Hawkes T. O. On Fitting formations // Math. Z. 1970. V. 117. P. 177–182.

Исследования выполнены при финансовой поддержке Министерства образования Республики Беларусь (грант № 20211750 «Конвергенция–2025»).

Балычев Сергей Владимирович (ORCID 0009-0008-0595-3819)
  1. Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, факультет математики и технологий программирования, кафедра алгебры и геометрии, 
    ул. Советская, 104, Гомель 246019, Республика Беларусь

E-mail: sergej.balychev@gmail.com

Васильев Александр Фёдорович (ORCID 0000-0002-0874-3357)
  1. Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, факультет математики и технологий программирования, кафедра алгебры и геометрии, 
    ул. Советская, 104, Гомель 246019, Республика Беларусь

E-mail: formation56@mail.ru

Мурашко Вячеслав Игоревич (ORCID 0000-0002-0769-2519)
  1. Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, факультет математики и технологий программирования, кафедра алгебры и геометрии, 
    ул. Советская, 104, Гомель 246019, Республика Беларусь

E-mail: mvimath@yandex.ru

Статья поступила 26 марта 2024 г. 
После доработки — 16 сентября 2024 г.
Принята к публикации 23 октября 2024 г.